– Ты сказал: старинная игра. Разве ты не сам ее придумал?
– Нет, я только применил ее к монетам. Сама же игра очень древнего происхождения и зародилась, вероятно, в Индии. Там существует преинтересная легенда, связанная с этой игрой. В городе Бенаресе имеется будто бы храм, в котором индусский бог Брама при сотворении мира установил три алмазных палочки и надел на одну из них 64 золотых кружка: самый большой внизу, а каждый следующий меньше предыдущего. Жрецы храма обязаны без устали, днем и ночью, перекладывать эти кружки с одной палочки на другую, пользуясь третьей как вспомогательной и соблюдая правила нашей игры: переносить зараз только один кружок и не класть большего на меньший. Легенда говорит, что, когда будут перенесены все 64 кружка, наступит конец мира.
– О, значит, мир давно уж должен был погибнуть, если верить этому преданию!
– Ты думаешь, кажется, что перенесение 64 кружков не должно отнять много времени?
– Конечно. Делая каждую секунду один ход, можно ведь в час успеть проделать 3600 перенесений.
– Ну и что же?
– А в сутки – около ста тысяч. В десять дней – миллион ходов. Миллионом же ходов можно наверное перенести не 64 кружка, а хоть целую тысячу.
– Ошибаешься. Чтобы перенести 64 кружка, нужно круглым счетом 500 миллиардов лет!
– Но почему это? Ведь число ходов равно только произведению 64 двоек, а это составляет…
– «Только» 18 триллионов с лишком, если называть триллионом миллион миллионов миллионов.
– Погоди, я сейчас перемножу и проверю.
– Прекрасно. А пока будешь умножать, я успею сходить по своим делам.
Шесть монет в трех рядах.Девять монет в десяти рядах.
Десять монет в пяти рядах.
И брат ушел, оставив меня погруженным в выкладки. Я нашел сначала произведение 16 двоек, затем умножил этот результат – 65536 – сам на себя, а то, что получилось, – снова на себя. Скучная работа, но я вооружился терпением и проделал ее до конца. У меня получилось такое число:
18 446 744 073 709 551 616.
Брат, значит, был прав…
Набравшись храбрости, я принялся за те задачи, которые брат предложил мне решить самостоятельно. Они оказались не такими уж сложными, а некоторые даже и очень легкими. С 11 монетами в 10 блюдцах дело было до смешного просто: мы клали в первое блюдце первую и одиннадцатую монеты; затем во второе блюдце третью монету, потом четвертую монету и т. д. А где же вторая монета? Ее совсем не клали! В этом и весь секрет.
Решения задач с размещениями монет ясны из прилагаемых чертежей (см. рис. на стр. 110–111).
Наконец, задача с монетами в квадратиках решается так, как показано здесь на чертеже: 18 монет размещены в квадрате с 36 клетками, и при этом в каждом ряду находится по три монеты.
В каждом ряду 3 монеты.
Завтрак с головоломками
Полтинник и гривенник. – Как мерить и взвешивать с помощью монет. – Великан и карлики. – Монета в 1000 рублей. – Два арбуза. – Геометрия торговцев. – Вес рыбы. – Задача о равноволосых людях. – Два гренадера. – Пароход и щепка. – Отгадывание задуманных чисел и спичек.– Вчера задали мне любопытную задачу, – рассказывал однажды товарищ брата, когда все мы сидели за завтраком. – В бумажке вырезано круглое отверстие величиной с гривенник, и надо через него продеть полтинник. Уверяли меня, что это возможно.
– Сейчас посмотрим, возможно ли это, – ответил брат. – Он справился в своей записной книжке, сделал какие-то выкладки и объявил:
– Да, возможно.
– Но как же это? Я не понимаю, – недоумевал гость.
– А я понимаю, – вмешался я в разговор: – сначала продеть один гривенник, потом второй, третий, четвертый и пятый. Тогда пройдет полтинник.
– Не полтинник, а 50 копеек, – поправил брат. – Надо же продеть именно полтинник.
Он вынул из кармана обе монеты, приложил гривенник к бумажке, обвел его карандашом и вырезал кружок маленькими складными ножницами своего перочинного ножа.
– А теперь проденем через это отверстие полтинник.
С недоверчивым ожиданием следили мы за его пальцами. Он изогнул бумажку так, что круглое отверстие вытянулось в прямую узкую щель. Представьте наше изумление, когда через эту щель действительно проскользнул полтинник!
– Хоть и вижу своими глазами, но все еще не понимаю. Ведь отверстие меньше полтинника! – сказал гость.
– Сейчас все станет ясно. Ширина гривенника у меня записана: 17 1/3 миллиметра. Окружность отверстия будет в 3 1/7 раза больше, т. е. свыше 54 миллиметров. Теперь сообразите, какой длины должна получиться щель, когда я растягиваю кружок в прямую линию. Она будет вдвое меньше окружности отверстия, т. е. 27 миллиметров с небольшим. Поперечник же полтинника не достигает 27 миллиметров, и, следовательно, полтинник должен пройти через такую щель. Правда, надо еще принять в расчет и толщину монеты; но дело в том, что когда обводят гривенник карандашом, кружок неизбежно получается чуть больше его истинных размеров; поэтому маленький запас для толщины монеты всегда имеется.
– Теперь я понял, – сказал товарищ брата. – Это все равно, как если бы я обтянул полтинник по диаметру нитяной петлей и затем сложил бы эту петлю кружочком. Через такой кружочек полтинник, разумеется, не пройдет, между тем как через петлю он проходил.
– Ты, кажется, помнишь наизусть размеры всех монет, – обратилась к брату сестра.
– Не всех: только тех, величину которых легко запомнить. Остальные у меня записаны.
– Какие же легко запомнить? По-моему, все одинаково трудно.
– Не скажи. Разве трудно запомнить, что три полтинника, положенные в ряд, составляют 8 сантиметров.
– Я этого не подозревал, – признался гость. – Ведь зная это, можно производить измерения с помощью монет. Полезно для Робинзонов, у которых, по счастью, сохранился в кармане полтинник.
Петля вокруг монеты.– Этим и воспользовались герои одного из романов Жюля Верна, потому что и для французских монет существует простое соотношение между их размерами и метром. И заметьте: монеты помогут Робинзонам производить также и взвешивания. Вес рублевой монеты – 20 граммов, полтинника – 10 граммов.
– Так рубль по объему ровно вдвое больше полтинника? – спросила сестра.
– Ровно вдвое.
– Однако рублевая монета не кажется такою: она не толще полтинника вдвое и не шире его вдвое, – возразила она.
– Ей и не полагается быть вдвое толще и шире. Если бы она такою была, она имела бы объем не вдвое больше, а…
– Вчетверо, понимаю.
– Ошибаешься: ввосьмеро! Ведь если монета вдвое шире, то она и вдвое длиннее; а так как она еще и вдвое толще, то объем ее больше в 2 x 2 x 2, т. е. в 8 раз.
– Чтобы иметь двойной объем – сказал гость, – рубль должен быть шире и толще полтинника в такое число раз, которое, будучи умножено на себя раз и еще раз, дало бы в результате 2.
– Верно, – подтвердил брат. – И число это примерно равно 1 1/4. Умножьте 1 1/4 x 1 1/4 x 1 1/4.
Вы получите 5x5x5/4x4x4, или 125/64, почти ровно 2.
– А как на самом деле?
– Так и есть: рубль шире полтинника в 1 1/4 раза.
– Это напоминает мне, – сказал гость, – историю о том человеке, которому приснилась серебряная монета в тысячу рублей. Она снилась ему поставленною на ребро и была высотою с четырехэтажный дом; между тем, если бы такая монета в самом деле была изготовлена, она, конечно, была бы не выше человеческого роста.
– Да, она должна была бы быть, – сказал брат, – всего в десять раз шире обычных размеров, потому что 10 x 10 x 10 = 1000. Значит, поставленная на ребро, она достигала бы в высоту только 33 сантиметра, – в 6 раз меньше человеческого роста, – а не 33 метра, как, вероятно, думалось твоему сновидцу.
– Отсюда, между прочим, следует, – сказал гость, – что если один человек на 1/8 выше другого и на столько же толще, то он должен быть вдвое тяжелее.
Монета в тысячу рублей.
– Вывод правильный.
– Во сколько же раз тогда какой-нибудь великан тяжелее карлика? – осведомилась сестра. – Наверное, раз в десять?
– В сотни раз! – ответил брат. – Самый высокий великан, о котором мне доводилось читать, был один эльзасец – на целый метр выше среднего человеческого роста. Это был, следовательно, детина в 275 сантиметров высоты.
– А карлик?
– Имеются свидетельства о взрослых карликах менее 40 сантиметров высоты, т. е. ниже исполина эльзасца в 7 раз. Значит, если бы на одну чашку весов поставить нашего великана, то на другую надо бы для равновесия поместить 7 x 7 x 7 = 343 карлика, целую толпу!
– Кстати, – вспомнила сестра, – разрешите мне такую задачу, с которою я встретилась на практике. Продаются два арбуза неодинаковых размеров. Один примерно на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1 1/2 раза дороже. Какой из них выгоднее купить?
Задача о двух арбузах.– Ну-ка, реши, – обратился ко мне брат.
– Если арбуз дороже в 1 1/2 раза, а шире только в 1 1/4 раза, то ясное дело, что дешевле тот арбуз, который поменьше.
– Ну нет! Ведь мы сейчас толковали о том, что если предмет шире, толще и выше в 1 1/4 раза, то объем его больше 1 1/4 x 1 1/4 x 1 1/4, т. е. вдвое. Значит, выгоднее купить крупный арбуз; он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше в два раза.
– Почему же за него просили не вдвое дороже, а только в полтора? – спросил гость.
– Потому что торговцы не знают геометрии. Но не знают ее и покупатели и зачастую отказываются поэтому от выгодных покупок. Можно смело утверждать, что крупные арбузы всегда выгоднее покупать, чем мелкие, потому что они расцениваются торговцами ниже их истинной стоимости; но большинство покупателей не подозревает об этом.
– Значит, и крупные яйца выгоднее покупать, нежели мелкие?
– Безусловно, они обойдутся дешевле. Впрочем, немецкие торговцы догадливее наших: продают яйца на вес; тогда ошибки в расценке не будет.
– Мне задали еще одну занятную задачу, которую я не сразу решил, – сказал гость. – Одного человека спросили, сколько весит пойманная им рыба. Он ответил: «три четверти килограмма и еще три четверти своего веса». Сколько же весила рыба?