Mark-I составляло 0,3 с, т. е. в десятки и сотни раз превышало «быстродействие» человека с механическим калькулятором), и машины эти широко использовались на практике. Тем не менее, такое быстродействие казалось уже тогда недостаточным, потому довольно быстро перешли к использованию ламп, что позволило достичь порогов в десятки и сотни килогерц, а затем и транзисторов, с которыми частота работы возросла до единиц и десятков мегагерц.
* * *
Легенда о «баге»
С использованием реле в компьютерной технике связана легендарная история о возникновении термина «баг», как ошибки в программе. В буквальном переводе «bug» означает «жучок». В 1947 году между контактами одного из реле Mark-II застряла мошка, вызвав неисправность. Когда мошку извлекли, молодая сотрудница Эйкена Грейс Хоппер (позднее — крупнейший авторитет в программировании и единственная в истории женщина-адмирал флота США) приклеила ее между страницами лабораторного журнала с подписью: «первый случай выловленного бага». Страница эта сейчас хранится в музее Смитсоновского института.
* * *
Как же можно построить наши логические элементы на транзисторах? На рис. 14.4 показаны для примера схемы так называемой диодно-транзисторной логики, которая широко использовалась в производстве гибридных микросхем (т. е. еще до изобретения Нойсом и Килби твердотельной микросхемы, см. главу 11).
Рис. 14.4.Схемы реализации логических функций на диодах и транзисторах
В элементе «И-НЕ» (слева) в нормальном состоянии транзистор открыт, и на выходе его логический ноль, так что подача логической единицы на входы ничего не изменит. А подача логического нуля хотя бы на один из входов приведет к тому, что соответствующий диод откроется и станет шунтировать переход база-эмиттер, в результате чего транзистор закроется, и на выходе возникнет логическая единица, что соответствует функции «И-НЕ». Диод в эмиттере нужен для обеспечения надежного запирания транзистора.
На схеме справа наоборот, транзистор в нормальном состоянии заперт, и на выходе логическая единица, а подача хотя бы одной логической единицы на входы откроет соответствующий диод и через него — транзистор, на выходе тогда установится логический ноль, что соответствует функции «ИЛИ-НЕ». «Подпирающий» диод здесь не требуется, зато требуются токоограничивающие резисторы на входах.
Схему инверсии «НЕ» специально рисовать не имеет смысла, т. к. любой транзистор, включенный по схеме с общим эмиттером, как мы знаем из главы 6, есть инвертор.
В случае необходимости обычные «И» и «ИЛИ» можно соорудить из этих схем, просто добавив к ним еще по одному транзисторному каскаду, но это снизит быстродействие и повысит потребление схемы. Отсюда понятно, почему разработчикам было удобнее проектировать микросхемы с инверсией, а не с «чистыми» булевыми функциями.
В этих схемах всплывает один вопрос, который для релейных схем был неактуален: с какого именно уровня напряжение считать логическим нулем, а с какого — единицей? В релейных схемах ноль — это полный разрыв цепи, а единица — полное ее замыкание. Здесь же не совсем так: на коллекторе открытого транзистора в левой схеме будет напряжение около 0,8–1 В, в то время как в правой — всего около 0,2–0,3 В. В то же время при закрытом транзисторе вроде бы напряжение логической единицы должно быть равно напряжению питания (токами утечки пренебрегаем). Однако оно тут же упадет, если мы нагрузим выход входом другой схемы типа «ИЛИ-НЕ», поскольку там требуется обеспечить определенный ток базы.
Поэтому для транзисторов и микросхем задают не точный порог изменения с нуля на единицу, который, как мы видим, непостоянен, а пределы: ниже определенного значения считают выход находящимся в состоянии нуля (для схем на рис. 14.4 подойдет значение 1,2–1,5 В), а выше другого определенного значения (например, при питании 5 В пусть это будет 3,5 В) — в состоянии логической единицы. В промежутке схему считают находящейся в нерабочем режиме (в зоне неопределенности). При этом приходится ограничивать число устройств, подключаемых одновременно к выходу (или потребляемый по выходу ток). Для того чтобы расширить возможности таких схем, в серию одинаковых по типу применяемой схемотехники микросхем вводят специальные чипы буферов — т. е. усилителей мощности сигнала, которые никакой логической функции не осуществляют, а просто усиливают сигнал по току. Иногда такие буферы совмещают с функцией инверсии. Но прежде чем мы перейдем к логическим микросхемам, необходимо немного углубиться в теорию и терминологию и понять, что такое двоичные коды и как двоичная арифметика соотносится с булевой алгеброй.
О том, что мы считаем в десятичной системе потому, что у нас десять пальцев на двух руках, осведомлены, вероятно, все. У древних ацтеков и майя в ходу была двадцатеричная система (вероятно потому, что закрытая обувь в их климате была не в моде). Вместе с тем, история показывает, что привязка к анатомическим особенностям строения человеческого тела совершенно необязательна. Со времен древних вавилонян у нас в быту сохранились остатки двенадцатеричной и шестидесятеричной систем, что выражается в количестве часов в сутках и минут в часах или, скажем, в том, что столовые приборы традиционно считают дюжинами или полудюжинами (а не десятками и пятерками). Так что само по себе основание системы счисления не имеет значения — точнее, оно есть дело привычки и удобства.
Однако такое положение справедливо лишь для ручного счета — для компьютеров выбор системы счисления имеет большее значение. Попробуем ответить на вопрос — почему? Для этого нам придется сначала разобраться — как мы, собственно говоря, считаем, что при этом происходит, что такое вообще система счисления и ее основание.
Десятичная система
Число — одна из самых удивительных абстрактных сущностей. Нет никаких сомнений, что число, количество предметов — есть вполне объективно существующая характеристика. В отличие, к примеру, от понятия цвета, она совершенно независима от самого факта наличия разума у считающего субъекта и даже от наличия самого субъекта. Тем не менее, материального воплощения числа не имеют — «количество», представленное в виде комбинации пальцев рук и ног, зарубок на палочке (вспомните, как Робинзон Крузо вел свой календарь), разложенных на земле веточек, костяшек на счетах или — что для нас самое главное! — черточек или значков на бумаге, есть всего лишь физическая модель некоего идеального абстрактного понятия «числа». Умение считать в уме, которое отличает цивилизованного человека от дикаря, и состоит в том, что мы можем оторваться от такой материальной модели и оперировать непосредственно с абстракцией.
Из понятия числа, как объективно существующей абстракции, вытекает, что его материальное представление может быть произвольным, лишь бы оно подчинялось тем же правилам, что и сами числа (совершенно аналогично булевым переменным). Проще всего считать палочками (и в детском саду нас учат именно такому счету) — в качестве которых могут выступать и пластмассовые стерженьки, и пальцы, и черточки на бумаге. Один — одна палочка, два — две палочки, десять — десять палочек. А сто палочек? Уже посчитать затруднительно, потому придумали сокращение записи: доходим до пяти палочек, ставим галочку, доходим до десяти — ставим крестик:
Узнаете? Конечно, это всем знакомая римская система, сохранившаяся до настоящих времен на циферблатах часов или в нумерации столетий. Она представляет собой пример непозиционной системы счисления — потому что значение определенного символа, обозначающего то или иное число, в ней не зависит от позиции относительно других символов — все значения в записи просто суммируются. То есть записи «XVIII» и «IIIXV» в принципе должны означать одно и то же. На самом деле это не совсем так — в современной традиции принято в целях сокращения записи использовать и позицию: скажем, в записи «IV» факт, что палочка стоит перед галочкой, а не после нее, означает придание ей отрицательного значения, т. е. в данном случае единица не прибавляется, а вычитается из пяти (то же самое относится и к записи девятки «IX»). Если вы человек наблюдательный, то могли заметить, что на часах четверку часто обозначают как «ИИ», а не как «IV» (см. рис. 14.5), что, несомненно, более отвечает духу непозиционной системы. Однако при всех возможных отклонениях главным здесь остается факт, что в основе системы лежит операция суммирования.
Рис. 14.5.Циферблат часов с римскими числами
Большие числа в римской системе записывать трудно, а еще сложнее осуществлять с ними арифметические действия. Поэтому еще в древнем Вавилоне придумали позиционную систему. Позднее в Европе позиционную систему переоткрыл (видимо) Архимед, затем от греков она была воспринята индусами и арабами, а на рубеже I и II тысячелетий опять попала в Европу[19] — с тех пор мы называем цифры арабскими, хотя по справедливости их следовало бы назвать индийскими. Это была уже современная десятичная система в том виде, в котором мы ее используем по сей день, у арабов отличается только написание цифр. С тем фактом, что заимствована она именно у арабов, связано не всеми осознаваемое несоответствие порядка записи цифр в числе с привычным для нас порядком следования текста: арабы, как известно, пишут справа налево. Поэтому значение цифры в зависимости от позиции ее в записи числа возрастает именно справа налево.
* * *
Заметки на полях
Еще один нюанс, дошедший до нас от древнегреческих времен, связан с тем, что греки и римляне не знали нуля. Именно поэтому первым годом нового тысячелетия считается 2001, а не 2000 год — год с двумя нулями относится к предыдущему столетию или тысячелетию. Это происходит потому, что после последнего года до нашей эры («минус первого») идет сразу первый год нашей эры, а не нулевой. На самом деле древние греки были совсем не такими дураками и ноль игнорировали не по скудоумию. Дело в том, что в последовательности объектов, нумерованных от нуля до, например, девяти, с