Рис. 39. Простая «чертова петля».
Математика в цирке
Я знаю, что длинные ряды «бездушных» формул отпугивают весьма многих любителей физики. Но, право же, отказываясь от знакомства с математической стороной явлений, такие недруги математики лишают себя огромного удовольствия заранее предвидеть ход явления и определять все его условия. В данном, например, случае две-три «бездушные» формулы помогут нам в точности определить, при каких условиях возможно успешное выполнение столь удивительного фокуса, как «чертова петля».
Приступим же к расчетам.
Обозначим буквами разные величины, с которыми нам придется вести расчеты:
Буквой h обозначим высоту, с которой скатывается велосипедист.
Буквой r обозначим радиус «петли».
Буквой m – общую массу артиста вместе с велосипедом; вес их выразится тогда через mg.
Буквой g – ускорение силы тяжести на земной поверхности; оно равно 9,8 метра.
Буквой v1 обозначим скорость велосипеда в тот момент, когда он достигает конца наклонной дорожки и начинает описывать круг.
Буквой v2 – скорость велосипеда в самой верхней точке круга.
Все эти величины мы можем связать двумя равенствами. Во-первых, мы знаем, что скорость v1 тела в нижней точки наклонного пути равна
Во-вторых, воспользуемся так называемым «уравнением живых сил»: работа силы, действующей на тело на некотором пути, равна изменению живой силы тела во время прохождения этого пути. Изменение живой силы на пути от точки А до точки В «чертовой петли» (рис. 40) равна разности
Работа же, произведенная на этом пути, равна работе силы тяжести при поднятии груза mg (вес артиста вместе с велосипедом) на высоту 2r (поперечник петли); эта работа выражается произведением mg × 2r = 2mgr. Итак, мы можем написать равенство
Рис. 40. Расчет «чертовой петли».
Для того, чтобы велосипедист, достигнув высшей точки кругового пути, не упал вниз, нужно, чтобы развивающаяся при этом центробежная сила была больше, нежели вес артиста вместе с велосипедом, т. е. надо, чтобы
Подставив в уравнение (2) вместо v1² равную величину 2gh (см. уравнение 1-е), имеем
Подставив это значение v22 в неравенство (3), имеем:
В результате вычислений мы узнали, что для успешного выполнения этого головоломного фокуса необходимо устроить «чертову петлю» так, чтобы поперечник круговой части (т. е. петли) был не больше 4/5 высоты наклонной части пути. Крутизна наклона, как видите, роли не играет, – нужно только, чтобы пункт, с которого велосипедист начинает спускаться, возвышался над вершиной петли более чем на 1/4 ее поперечника. (При двойной «чертовой петле», изображенной на рис. 41, вершина второй петли должна быть ниже первой.) Если, например, петля имеет в поперечнике 8 саженей, то артист должен начать спуск не менее чем с 10-саженной высоты. Не выполни он этого условия – и никакое искусство не поможет ему описать «чертову петлю»: достигнув ее верхней части, он неминуемо сорвется вниз, так как центробежная сила не будет достаточна, чтобы противодействовать силе тяжести.
Рис. 41. Двойная «чертова петля».
Поэтому, между прочим, ошибочно изображение «чертовой петли» на приведенной ранее старинной афише (рис. 38): вершина петли чересчур приподнята. На такой петле катастрофа неминуема.
Надо заметить, что при исполнении этого трюка велосипедист едет без цепи, предоставляя свою машину действию тяжести: ни ускорить, ни замедлить своего движения он не может. Все искусство артиста заключается в том, чтобы держаться середины деревянной дорожки; при малейшем уклонении он рискует съехать с дорожки и быть с силою отброшенным в сторону. Скорость движения велосипедиста по кругу весьма велика: при круге с поперечником в 8 саженей он совершает оборот в 3 секунды. Это соответствует скорости 120 верст в час! Управлять велосипедом при такой быстроте, конечно, немыслимо; но этого и не надо: можно смело положиться на законы механики.
Куда девалось 5.000 пудов?
Какой-то затейник объявил однажды, что знает способ вполне законно и честно обвешивать покупателей. Секрет состоит в том, чтобы покупать товары в экваториальных странах, а продавать их поближе к полюсам. Давно известно, что, вследствие центробежной силы и сплюснутости земного шара, телá близ экватора притягиваются Землей слабее, нежели близ полюсов; один фунт, будучи перенесен с экватора на полюс, прибавится в весе почти на ползолотника[25]. При этом надо пользоваться, конечно, не обыкновенными весами, а пружинными – иначе никакой выгоды не получится: товар станет тяжелее, но настолько же тяжелее сделаются и гири. Если купить пуд золота где-нибудь в Перу, а сбыть его, скажем, в Исландии, то можно, пожалуй, на этой операции заработать несколько рублей, – при условии, конечно, что предприимчивый торговец будет пользоваться бесплатным провозом.
Не думаю, чтобы эта торговля была очень выгодна, но по существу шутник прав, так как тяжесть действительно уменьшается с удалением от экватора. Происходит это по двум причинам. Во-первых, оттого, что на экваторе тела описывают при вращении Земли самые большие круги, и, следовательно, центробежная сила (направленная обратно тяжести) здесь наибольшая. Во-вторых, земной шар как бы вздут у экватора, и тела здесь больше удалены от центра, нежели в других местах; а чем дальше тело от центра притяжения, тем слабее оно притягивается.
Разница в весе при переносе тела с одной широты на другую ничтожна для мелких тел. Но для грузных, массивных предметов она может достигнуть величины довольно солидной. Вы и не подозревали, например, что паровоз, весящий в Москве 10.000 пудов, становится по прибытии в Архангельск на 10 пудов тяжелее, а в Одессе – настолько же легче. Партия угля в 300.000 пудов, доставленная со Шпицбергена в какой-нибудь экваториальный порт, уменьшилась бы на 1.200 пудов, если бы приемщику пришла фантазия принять груз, пользуясь пружинными весами. Дредноут, весивший в Архангельске 20.000 тонн, по прибытии в экваториальные воды становится легче на 80 тонн, т. е. почти на 5.000 пудов – но это остается неощутительным, так как соответственно становятся легче и все другие тела, не исключая, конечно, и воды в океане.
Кто же похитил 1.200 пудов угольного транспорта и 5.000 пудов веса дредноута? Главным образом похитила их центробежная сила; она уменьшает вес всякого тела близ экватора на 1/290 долю по сравнению с весом того же тела у полюсов.
Мир наизнанку
Если бы земной шар вращался вокруг своей оси быстрее, чем теперь, – например, если бы сутки равнялись не 24 часам, а, скажем, 4 часам, то разница в весе тел на экваторе и полюсах была бы резко заметна. При четырехчасовых сутках, например, пудовая гиря весила бы на полюсе всего 35 фунтов. Именно таковы, приблизительно, условия тяжести на Сатурне: близ полюсов этой планеты все тела на 1/6 тяжелее, чем на экваторе.
Самое любопытное у нас еще впереди. Мы знаем, что центробежная сила возрастает пропорционально квадрату скорости; поэтому не трудно вычислить, при какой быстроте вращения центробежная сила на земном экваторе должна стать в 290 раз более, т. е. сравняться с силой притяжения. Это наступит при скорости в 17 раз большей, нежели нынешняя (ибо 17 × 17 почти = 290). Другими словами, если бы Земля вращалась в 17 раз скорее, то предметы на экваторе совсем не имели бы веса! (Для Сатурна это наступило бы при скорости вращения всего в 2½ раза большей, чем нынешняя).
А что же было бы, если бы Земля вращалась еще быстрее – например, в 20 раз скорее, нежели теперь? Вероятнее всего, что она под действием чудовищной центробежной силы разлетелась бы вдребезги, как слишком быстро заверченный жернов. Но допустим, что Земля достаточно тверда, – настолько, что даже не расплющится при этом в плоский диск, а сохранит свою нынешнюю форму. Тогда в экваториальном поясе телá падали бы, под действием громадной центробежной силы, не вниз, а вверх!
Надо иметь воображение Жюля Верна или Уэллса, чтобы ясно представить себе необычайные отношения, возникающие при подобных условиях. Мир словно вывернулся бы наизнанку. Люди должны были бы в полном смысле слова ходить на голове или, вернее, на руках, хватаясь за прикрепленные к почве предметы. Все вещи надо было бы привязывать к столбам или глубоко зарывать в землю, чтобы уберечь их от падения вверх, в мировое пространство. Здания надо было бы строить «вверх дном»: пол был бы на месте потолка, и наоборот; столы, стулья, кровати покоились бы ногами вверх, упираясь ими в потолок, который в этом мире играл бы роль пола… Жидкости приходилось бы держать в сосудах, перевернутых дном вверх. При малейшей неосторожности люди рисковали бы упасть в пустоту, в бездонное небо, откуда нет возврата… А в нескольких сотнях или тысячах верст к северу или к югу все оставалось бы нормально: тяжесть – правда, значительно ослабленная, – заставляла бы тела падать к Земле, а не от Земли. Будь на Земле такая экваториальная полоса с «отрицательной тяжестью», ее несравненно труднее было бы исследовать, нежели наши полярные области. Люди не могли бы даже жить в такой стране потому, что там не было бы воздуха: не сдерживаемый притяжением, он улетучился бы в мировое пространство.