небольшое расстояние λ. Оказывается, путем простых экспериментов можно определить это расстояние (оно называется свободным пробегом), а также рассчитать, как часто данная молекула сталкивается с другими. Знать частоту столкновений очень важно, в частности, для химической кинетики – науки, которая изучает скорость химических реакций.
Несмотря на то что молекулы воздуха все время «путаются под ногами» молекул йода (такое меткое выражение употребил лауреат Нобелевской премии по химии Николай Николаевич Семёнов), пары йода тем не менее распространяются все дальше от кристаллов. Это явление называется диффузией (слово происходит от лат. diffusio – «распространение», «растекание»). Быстрее всего диффузия происходит в газах, намного медленнее – в жидкостях, совсем медленно – в твердых телах.
Задача о диффузионном движении молекулы очень похожа на задачу о броуновском движении. В 1827 г. английский ботаник Роберт Броун, наблюдая в микроскоп за взвешенными в воде мельчайшими частицами (например, за зернами, выделенными из клеток пыльцы некоторых растений), неожиданно обнаружил, что эти частицы непрерывно совершают хаотические движения. И лишь много десятилетий спустя ученые поняли, что это явление связано с беспорядочными ударами невидимых молекул воды. Когда, наблюдая за частицами в микроскоп, на носили на клетчатой бумаге их положение через определенное время (например, каждые полминуты), получались ломаные линии – такие, как приведены на рисунке. Оказалось, что очень малые частицы подвержены со всех сторон непрерывным ударам молекул воды и эти удары не компенсируют друг друга (как в случае больших частиц). Если бы мы могли следить за положением данной молекулы в ходе ее непрерывных соударений с другими и нанесли эти положения на бумагу, то получилась бы такая же картинка.
Зарисовка последовательных положений трех броуновских частиц (капельки камеди размером около 1 мкм в эмульсии), сделанная французским физиком Жаном Перреном в 1908 г.
В этом хаосе движений смогли разобраться в начале ХХ в. Альберт Эйнштейн и польский физик Мариан Смолуховский, которые решили задачу о случайных блужданиях молекулы (или очень маленькой частицы). Сравнивая движения молекул и броуновских частиц, Смолуховский отмечал, что «частицы, взвешенные в жидкой или газообразной среде, ведут себя так, как если бы они были самостоятельными молекулами с нормальной кинетической энергией, но соответственно с гораздо меньшей длиной свободного пути».
Остроумные физики вскоре обозвали случайные блуждания молекулы или броуновской частицы «прогулкой пьяницы» (по-английски the drunkard’s walk), причем с помощью этой «модели» оказалось возможным легко и наглядно вывести основную формулу для диффузии. В такой необычной форме задача о случайных блужданиях звучит так. Поздно вечером из кабачка, расположенного в середине улицы (пункт 0), вышел подвыпивший моряк и направился… допустим, к ближайшей остановке; обе они находятся в нескольких сотнях метров по обе стороны от кабачка. Улица освещена фонарями на столбах, расстояние между которыми равно λ. Моряк не помнит, в какую сторону нужно идти от пункта 0, и выбирает направление произвольно. Дойдя до ближайшего фонаря, он немного отдыхает, ухватившись за столб, а потом идет дальше, до следующего фонаря, а так как он не помнит, откуда пришел, то может направиться в любую сторону с равной вероятностью. Спрашивается, дойдет ли он в конце концов до какой-нибудь остановки или так и будет совершать колебания около начального пункта 0, то удаляясь ненамного от него, то опять приближаясь?
Решение этой строго научной задачи такое: постепенно моряк будет все дальше удаляться от начального пункта, хотя и значительно медленнее, чем если бы он двигался только в одну сторону. Это можно показать достаточно простым способом.
Нам нужно выразить расстояние SN от нулевой точки до местоположения моряка после N его блужданий от одного фонаря до другого, если известно среднее расстояние между столбами λ. (Отметим сразу, что для молекулы величина S соответствует диффузионному смещению – расстоянию, на которое продвинутся пары йода в воздухе или окрашенные ионы в воде; величина λ соответствует среднему свободному пробегу молекулы – расстоянию, которое она пролетает в свободном полете от одного столкновения до другого; величина N соответствует числу столкновений за определенное время – время, за которое диффузия прошла на расстояние S.)
А теперь немного простой математики. Дойдя до первого фонаря, моряк пройдет расстояние S1 = ±λ: + λ, если он пошел вправо, и – λ, если пошел влево от точки 0. Но нам не важно, в какую сторону пошел моряк, а важно только, какое расстояние он прошел. Чтобы избавиться от знаков, возведем обе части этого равенства в квадрат: S12 = λ2.
Пусть теперь, совершив N – 1 таких блужданий, моряк оказался на расстоянии SN–1 от начала. Пройдя до следующего фонаря, он очутится либо дальше, либо ближе к точке 0, т. е. SN = SN–1± λ.
Избавляемся от неопределенности в знаках таким способом. Возводим обе части равенства в квадрат: (SN)2 = (SN–1)2 ± 2λSN–1 + λ2. Теперь представим себе, что моряк много раз совершил единичное блуждание от точки SN–1 к точке SN. В половине случаев, когда точка SN расположена дальше, чем точка SN–1, мы получим (SN)2 = (SN–1)2 + 2λSN–1 + λ2, а в половине случаев, когда точка SN расположена ближе к началу, чем точка SN–1, мы получим (SN)2 = = (SN–1)2 – 2λSN + λ2. Таким образом, плюсы и минусы взаимно сократятся, и в среднем квадрат удаления после N-го блуждания будет равен (SN)2 = (SN–1)2 + λ2.
Исходя из этой формулы и учитывая, что S12 = λ2, получаем, что S22 = S12 + λ2 = 2λ2 (квадрат предыдущего значения плюс λ2), S32 = = 3λ2 и т. д. То есть квадрат смещения после N-го блуждания (SN)2 = Nλ2 или .
Вот мы и получили основную формулу для процесса случайных блужданий. Из нее следует, например, что трезвый моряк, идущий все время в одном направлении, пройдя N = 100 столбов, расстояние между которыми λ = 20 м, удалится от точки 0 на 2000 м = 2 км. Подвыпивший же моряк удалится от начала всего на . Но все же в какую-нибудь сторону удалится!
Другой пример. Многие, возможно, замечали, что шнур от телефонной трубки часто очень сильно закручен в одну сторону. Причина может быть та же: если много раз снимать трубку, а потом класть ее на рычаг, случайно повернув то в одну сторону, то в другую, то в конце концов трубка окажется много раз повернутой в какую-нибудь одну сторону, и для распрямления провода его придется раскручивать.
Теория случайных блужданий имеет и более важное практическое приложение. Говорят, что без компаса и в отсутствие ориентиров (солнце, звезды, шум шоссе или железной дороги и т. п.) человек бродит в лесу, по полю в буране или в густом тумане кругами, все время возвращаясь на прежнее место. На самом деле он ходит не кругами, а примерно так, как движутся молекулы или броуновские частицы. На исходную точку он вернуться может, но только случайно. А вот свой путь он пересекает много раз – как броуновская частица на рисунке. Рассказывают также, что замерзших в пургу людей находили «в каком-нибудь километре» от ближайшего жилья или дороги. Однако на самом деле у человека не было никаких шансов пройти этот километр, и вот почему.
Чтобы рассчитать, насколько сместится человек в результате случайных блужданий, надо знать ту самую величину λ; в данном случае это расстояние, которое человек может пройти по прямой, не имея никаких ориентиров. Эту величину с помощью студентов измерил профессор математики Московского государственного университета инженерной экологии Б. С. Горобец. Он, конечно, не оставлял их одних в дремучем лесу или на заснеженном поле, все было проще: студента ставили в центре пустого стадиона, завязывали ему глаза и просили в полной тишине (чтобы исключить ориентирование по звукам) пройти до конца футбольного поля. Оказалось, что в среднем студент проходил по прямой всего лишь около 20 м (когда отклонение от прямой не превышало 5°), а потом начинал все более отклоняться от первоначального направления. В конце концов он останавливался, далеко не дойдя до края.
Пусть теперь человек идет (вернее, блуждает) в лесу со скоростью 2 км/ч (для дороги это очень медленно, но для густого леса – очень быстро!), тогда если величина λ равна 20 м, то за час он пройдет 2 км, но сместится всего лишь на 200 м, за два часа – примерно на 280 м, за три часа – 350 м, за 4 часа – 400 м и т. д. А двигаясь по прямой с такой скоростью, человек за 4 часа прошел бы 8 км и, скорее всего, вышел бы если не к жилью, то к дороге, просеке, речке, высоковольтной линии. Поэтому в инструкциях по технике безопасности полевых работ есть такое правило: если ориентиры потеряны (сплошная облачность, не слышно шума шоссе или железной дороги), надо оставаться на месте, обустраивать убежище и ждать окончания ненастья (может выглянуть солнце) или помощи. В лесу же двигаться по прямой помогут ориентиры – деревья или кусты, причем каждый раз надо держаться двух таких ориентиров – одного спереди, другого сзади. Но, конечно, лучше всего брать с собой компас…