— Пока все понятно, — кивнул Сэм-старший.
— Тогда рассмотрим другую ситуацию, — продолжил Сэм-млад- ший — На этот раз предположим, что у тебя на руках другая взятка карт для игры в бридж. Но теперь мы знаем лишь, что во взятке есть туз — какой-то масти. Если тузов во взятке нет, то такую колоду мы просто не рассматриваем. Вторую взятку мы допускаем к рассмотрению только в том случае, если в ней есть по крайней мере один туз. И в этом случае среди остальных двенадцати карт взятки могут быть и другие тузы, и существует отличная от нуля вероятность того, что во взятке два или более тузов.
Я хочу, чтобы ты сравнил вероятности обнаружить два или более тузов в этих двух случаях. Напомню, что в первом случае во взятке непременно есть туз пик, а во втором случае — туз какой-то масти. Как отличаются друг от друга вероятности обнаружить в колодах два или более тузов в этих случаях?
— Послушай-ка, сынок, — произнес Сэм-старший, терпеливо выслушав условия задачи. — Я играл в карты, когда тебя еще и на свете не было. Поверь мне, никакой разницы между тузом пик и тузом любой другой масти нет. Гарантировать, что во взятке есть туз пик, то же самое, что гарантировать, что во взятке есть туз какой-то масти, как ты изволил выразиться. И в обоих случаях вероятность того, что среда остальных двенадцати карт есть еще один или несколько тузов, в точности одна и та же.
— Ты хочешь сказать, что по-твоему вероятность иметь во взятке два или более тузов в первом и во втором случаях одинакова?
— Именно это я и сказал.
— Тогда ты опять заблуждаешься, — улыбнулся Сэм-младший, — причем по той же причине, что и прежде.
— Тебе придется очень постараться, чтобы убедить меня в этом.
— Позволь, я попытаюсь сформулировать из сказанного более простую задачу, — предложил Сэм-младший. — Чтобы основные идеи теории вероятностей стали видны более отчетливо, возьмем взятку, состоящую только из четырех карт: туза пик, туза треф и двойки пик, двойки треф. Из такой уменьшенной взятки ты получаешь взятки только из двух карт. Все остальные условия остаются прежними, т. е. в первом случае гарантируется, что из двух карт у тебя на руках одна — туз пик, а другая — какая-то. Во втором случае из двух карт одна заведомо туз какой-то масти, а другая — любая.
Полагаю, ты согласишься, что сравнение вероятностей в уменьшенных взятках более наглядно и поучительно, чем сравнение вероятностей в полных взятках для игры в бридж?
— Не спорю, — согласился Сэм-старший. — Числа получатся другими, но отношение вероятностей для упрощенной игры покажет, каким должен быть ответ в случае полных взяток для игры в бридж.
— Прекрасно! В таком случае ответь, пожалуйста, какие возможные взятки могут оказаться у тебя в упрощенной задаче с непременным тузом пик?
— Проще простого! Вот они:
И разумеется, вероятность получить взятку с двумя тузами из трех взяток с непременным тузом пик равна 2/3.
— Правильно, — подтвердил Сэм-младший. — А каковы возможные взятки во втором случае, когда требуется, чтобы в колоде непременно был какой-нибудь козырь?
— И в этом случае ответ очень прост:
На этот раз мы получаем пять возможных взяток, а из этих пяти только в одной взятке два туза, что дает вероятность, равную только 1/5. Но почему так?
Сэм-младший рассмеялся и объяснил:
— Вероятность благоприятного исхода по определению равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу испытаний. И в первой, и во второй рассмотренной нами задаче в заблуждение вводит общее число возможных испытаний.
В упрощенной задаче ограничение на масть туза (то обстоятельство, что в колоде непременно должен быть туз пик) приводило только к уменьшению общего числа возможных раскладов колоды. Но это условие ничуть не изменило число благоприятных исходов, т. е. благоприятных раскладов взятки, удовлетворяющих условиям задачи. Разумеется, в задаче о «полновесной» взятке, в настоящей, а не упрощенной игре в бридж, числитель дроби, выражающей требуемую вероятность, т. е. число благоприятных исходов, будет ограничен условием непременного присутствия туза определенной масти, но общее число возможных взяток с тузом пик будет ограничено гораздо сильнее. Вероятность в этом случае оказывается больше, чем в случае, когда во взятке непременно должен быть туз какой-то масти.
Вероятность случайного события
— Ты начинаешь убеждать меня, — вздохнул Сэм. — Может быть, нам лучше перейти к бросанию монеты или чему-нибудь в том же духе?
— По правде говоря, я не собирался заходить так далеко, но ты напомнил мне одну интересную историю. Когда я учился на последнем курсе в колледже, нам пришлось прослушать один дурацкий курс, который не дал ровно ничего нашему образованию. Должно быть, этот курс был включен в программу в незапамятные времена, и о нем просто- напросто забыли. Лектор чувствовал себя очень неловко и всячески давал нам понять, что ему очень неловко попусту тратить наше время. В утешение в начале семестра он сообщил нам, что поставит всем только отличные и хорошие оценки, поэтому нам следует беспокоиться не об успеваемости, а только о напрасно потраченном времени.
Лектор был человеком, помешанным на честности, и когда ему в конце семестра пришлось выставлять оценки, не обошлось без небольшой проблемы. Дело в том, что он всем собирался поставить только хорошие и отличные оценки, распределив их среди студентов случайным образом: каждый, прослушавший курс, мог с вероятностью 1/2 получить оценку «отлично» и с такой же вероятностью — оценку «хорошо».
Наш лектор намеревался пройтись по списку студентов и, останавливаясь на каждой фамилии, бросать монетку: орел означал бы «отлично», а решка — оценку «хорошо». Но прежде чем он приступил к бросанию монеты, его пронзила ужасная мысль: что если монета слегка несимметрична? Ведь тогда вероятности выпадения орла и решки окажутся смещенными, и оценки будут распределяться нечестно!
Проблема, с которой столкнулся наш лектор, состояла в следующем: если монета несимметрична, то можно ли случайным образом распределить оценки среди студентов, прослушавших курс, так, чтобы каждый из них с одинаковой вероятностью мог получить и отличную, и хорошую оценку?
Сэм-старший издал короткий смешок и заметил:
— Я всегда знал, что оценки ставятся наобум, но не думал, что кому-нибудь понадобится исключать эффект возможной асимметрии монеты. Все же, как мне кажется, я знаю, что нужно сделать. Что если лектор станет бросать монету дважды? Разве не верно, что независимо от смещения вероятность выпадения сначала орла, а потом решки в точности равна вероятности выпадения сначала решки, а потом орла?
Сэм-младший тоже рассмеялся:
— Что верно, то верно! А если оба бросания завершатся одинаковыми исходами, то их нужно просто исключить и бросать монетку снова два раза подряд. В зачет идут только те бросания, при которых сначала выпадает орел, а потом решка, или сначала решка, а потом орел. Тогда лектор выставляет оценку «отлично», если первым выпадает орел, и «хорошо», если первой выпадает решка.
— Причина, по которой такая тактика дает правильный результат, очень любопытна, — продолжал Сэм-младший, — и я хотел бы пояснить, в чем тут дело.
Путь
— вероятность выпадения орла при первом или втором бросании. Тогда вероятность выпадения решки равна р
. Следовательно, вероятность выпадения в первом бросании орла, а во втором решки равна произведению 1 — р
и р
, т. е. 1 — р
.р(1 — р)
Точно так же вероятность выпадения при первом бросании решки, а при втором орла равна
.(р — 1)р
Но так как умножение обыкновенных чисел коммутативно, т. е. произведение не зависит от порядка сомножителей, оба произведения равны:
р(1 — р) = (1 — р)рПоэтому твой ответ правилен.
Бросание монет
Сэм-старший улыбнулся и сказал:
— Я знал, что когда дело дойдет до денег, я смогу показать тебе, что разбираюсь в своем деле.
— Никогда в этом не сомневался, — заверил отца Сэм-младший. — Я только хотел обратить твое внимание на некоторые тонкости в простейших понятиях теории вероятностей. В том деле, которым ты занимаешься, приходится думать не только о вероятностях, но и о многом другом, например основательно разбираться в теории игр: ведь то, что ты делаешь, по существу сводится к разработке стратегий.
— Ничего подобного! — запротестовал Сэм-старший. — Просто у меня большой опыт в тех делах, которыми я занимаюсь, только и всего.
— Никто не спорит и не ставит под сомнение, что ты можешь действовать интуитивно. Но твои приемы есть не что иное как методы теории игр. Если не возражаешь, я попытаюсь продемонстрировать это на очень простом примере.
Предположим, что мы играем с тобой в нехитрую игру. Каждый из нас бросает свою монету. Если обе монеты выпадают вверх орлами или вверх решками, то выигрываешь ты. Если монеты выпадают по-разному, одна вверх орлом, другая вверх решкой, то выигрываю я, причем безразлично, чья именно монета выпадает вверх орлом, а чья — вверх решкой. А теперь сделаем игру более интересной.
Если выигрываешь ты, то я плачу тебе 9 пенсов за два орла и 1 пенс за две решки. Если же выигрываю я, то при любом раскладе, т. е. независимо от того, выпадает ли комбинация «орел-решка» или «решка- орел», ты платишь мне 5 центов.
Перед игрой и даже во время игры ты можешь как угодно менять свои монеты на фальшивые.
Как видишь, все сказанное делает игру с бросанием монет гораздо интереснее. Она позволяет выработать удобную стратегию. Поскольку наибольший выигрыш тебе сулит выпадение комбинации «орел-орел», ты можешь предпочесть заменить свои монеты такими, которые чаще выпадают вверх орлом. Но поскольку мне об этом известно, я могу пойти на замену своих монет такими, которые чаще выпадают вверх решкой, так как я выигрываю при выпадении комбинаций «орел-решка» и «решка-орел».