1,5 / 2
, а среднее время ожидания увеличивается в полтора раза. Итого: среднее время ожидания изменится в 1,5 / 2 * 1,5 = 1,125
раза. Таким образом, если встречные поезда на переезде перекрываются наполовину, то время ожидания увеличивается на12,5 %
.— Подумать только! — с удивлением заметил мистер Джонсон. — Даже когда поезда перекрываются наполовину, автомобилисту приходится ждать дольше.
— Как видите, мистер Джонсон, время ожидания существенно зависит от того, насколько перекрываются встречные поезда на переезде. Давайте построим график, ведь теперь мы знаем, во сколько увеличивается время ожидания при полном перекрытии поездов, при их перекрытии наполовину и при едва начавшемся перекрытии, — предложил врач, доставая карандаш. — Как видите, полная площадь, соответствующая увеличению среднего времени ожидания (треугольник А), гораздо больше, чем полная площадь, соответствующая уменьшению среднего времени ожидания (треугольник В). Отсюда следует, что в среднем перекрытие встречных поездов заставляет автомобилистов ждать у переезда дольше, чем в том случае, когда одно и то же количество поездов курсирует по одноколейному пути в обоих направлениях.
Шмель
— А еще какие-нибудь задачи про поезда вы знаете? — немного помолчав, спросил старый машинист.
— Знаю еще одну, только она очень простая. Два поезда выходят одновременно навстречу другу друга со станций А и B, разделяемых расстоянием в 100 миль[7]. Каждый из поездов движется со скоростью 50 миль/ч. Вместе с поездами со станции А по направлению к станции В вдоль железной дороги вылетает шмель, развивающий в полете скорость 70 миль/ч. Долетев до поезда, идущего со станции B, шмель в испуге поворачивает назад и летит к станции А, пока не встретит поезд, идущий к станции B, и т. д. Так он летает туда и обратно между сближающимися поездами. Когда же те, наконец, встречаются, шмель при виде мчащихся с двух сторон железных чудовищ пугается настолько, что замертво падает на землю.
Спрашивается, какое расстояние успевает пролететь шмель?
— Сейчас узнаем, — пробормотал себе под нос мистер Джонсон. — Задачка, действительно, не очень трудная. Если два поезда движутся навстречу друг другу со скоростью 50 миль/ч каждый и отправляются одновременно со станций, расположенных в 100 милях одна от другой, то поезда должны встретиться через час после отправления посередине пути. С какой скоростью, вы говорили, летел шмель?
— Семьдесят миль в час.
— Значит, он успел пролететь семьдесят миль. Правильно?
— Абсолютно правильно! — воскликнул врач. — Но то, что вы так легко решили эту задачу, свидетельствует о том что вы не математик! Настоящий математик стал бы искать решения в виде бесконечного ряда, суммируя времена, за которые шмель покрывает отрезки своего пути, совершая полеты туда и обратно между поездами. При таком подходе решение задачи становится весьма трудным, так как члены суммируемого ряда имеют достаточно сложный вид. Мне рассказывали, что Джон фон Нейман[8]. один из величайших математиков XX века, задумавшись на несколько секунд, дал правильный ответ — 70 миль.
— О! — воскликнул человек, задавший ему эту задачу. — Вы все-таки нашли простое решение, а я думал, что вы станете суммировать в уме бесконечный ряд.
— А я и просуммировал ряд, — спокойно ответил Джон фон Нейман, который был известен своей способностью производить в уме сложнейшие вычисления со скоростью, уступавшей только электронным компьютерам, в развитие которых он внес существенный вклад.
Почтовые голуби
Однажды мистер Джонсон поведал своему приятелю с математическим складом ума об одной трудной задаче, с которой ему пришлось столкнуться, когда он служил машинистом на железной дороге. Войскам связи настоятельно потребовалось провести испытание почтовых голубей, и представители командования этого рода войск обратились к мистеру Джонсону с просьбой выпустить двух почтовых голубей в точках маршрута, отстоящих на расстоянии ровно 50 миль и разделенных по времени ровно на 1 час.
На одном из участков маршрута был прямолинейный отрезок длиной 100 миль. По расписанию поезд должен был преодолеть эти 100 миль ровно за 2 часа, т. е. двигаться в течение 2 часов со средней скоростью 50 миль/ч. Но на этом стомильном отрезке было немало станций. Продолжительность стоянок, естественно, определялась расписанием, в котором было указано время прибытия поезда на каждую станцию и время отправления. Машинист мог нагнать потерянное время, двигаясь с более высокой скоростью, и ему всегда удавалось уложиться на стомильном отрезке в требуемые два часа.
— Но именно потому, что я покрываю 100 миль за 2 часа, — сказал мистер Джонсон своему приятелю, — нет никаких оснований предполагать, что в течение этих 2 часов непременно найдется часовой промежуток времени, на протяжении которого я двигаюсь со средней скоростью 50 миль/ч.
— Не хотелось бы огорчать вас, но, к сожалению, вы заблуждаетесь, — засмеялся врач. — Нетрудно доказать, что независимо от того, как менялась скорость поезда в течение 2 часов, за которые вы преодолеваете отрезок в 100 миль, непременно найдется по крайней мере один одночасовой промежуток времени, за который вы проезжаете ровно 50 миль. Проще всего в этом можно убедиться следующим образом. Представим себе, что 2 часа разделены на 2 последовательных промежутка времени продолжительностью 1 час каждый.
Предположим также, что ни за первый, ни за второй час вы не проезжаете ровно 50 миль, так как в противном случае задача была бы решена. Мы можем также, не ограничивая общности, предположить, что средняя скорость за первый час меньше 50 миль/ч, а за второй час — больше 50 миль/ч. Как вы увидите из дальнейшего, мои рассуждения не зависят от того, в который из часовых промежутков, в первый или во второй, средняя скорость была больше.
Мысленно представим себе промежуток времени продолжительностью в 1 час, непрерывно движущийся вдоль шкалы времени, на которой отложены один за другим первый и второй часы движения поезда. В начальном положении наш промежуток времени полностью совпадает с первым часом, в конечном положении — со вторым часом. Рассмотрим среднюю скорость поезда за часовой промежуток, скользящий вдоль шкалы времени. Так как в начальном положении наш часовой промежуток полностью перекрывается с первым часом, то средняя скорость за этот промежуток в самом начале меньше, чем 50 миль/ч. Непрерывно перемещая его направо, мы в конце концов совместим его со вторым часом, и тогда средняя скорость за скользящий часовой промежуток станет больше, чем 50 миль/ч.
Таким образом, непрерывно сдвигая часовой промежуток слева направо, мы непрерывным же образом изменяем среднюю скорость от значения, меньшего 50 миль/ч, до значения, большего 50 миль/ч. Следовательно, в некотором промежуточном положении часового промежутка средняя скорость за этот час должна быть в точности равна 50 милям/ч. Тем самым мое утверждение доказано.
Машинист вздохнул и заметил:
— Думаю, что вы правы, хотя войскам связи от этого не легче, так как я мог заранее знать, когда именно поезд начнет проходить тот самый участок, на котором он развивает среднюю скорость в 50 миль/ч, и поэтому не мог установить, когда мне следовало бы выпустить почтовых голубей. Но пока я размышляю над этим, мне хотелось бы предложить вам одну практическую задачку, которая может вас заинтересовать.
— Предлагайте, — охотно согласился доктор, — хотя я не очень силен в практических задачах.
Летнее время
— Как вы знаете, — начал мистер Джонсон, — я долгие годы водил поезда на одной и той же дистанции. Каждый вечер я прибывал в свой родной город точно по расписанию в одно и то же время и передавал поезд другому машинисту, которому предстояло вести его дальше.
— Это мне известно, — подтвердил доктор.
Поскольку железнодорожное расписание выдерживалось с идеальной точностью, моя жена точно знала, когда я прибываю в город, и подъезжала на автомобиле к вокзалу, чтобы отвезти меня домой. Каждый вечер она подъезжала к вокзалу в ту самую минуту, когда мой поезд останавливался, и забирала меня.
— Заботливая у вас женушка, — заметил доктор.
— Так вот, — продолжал машинист, — как сейчас помню, однажды между несколькими штатами разгорелся спор относительно того, следует ли переходить на летнее время. Случилось так, что мой штат не перешел на летнее время, а поскольку дистанция, на которой я водил поезда, начиналась в соседнем штате, перешедшем на летнее время, расписание было нарушено, и я прибыл на станцию в свой родной город в первый же вечер после введения летнего времени на час раньше (по часам в моем городе). И только тогда я вдруг понял, что моя жена заедет за мной только через час. Помню также, что мой сменщик-машинист, которому предстояло вести поезд дальше, сломал свои наручные часы, переводя их то на час вперед, то на час назад, и мне пришлось одолжить ему мои часы.
Так как мне предстояло прождать целый час, я счел за благо отправиться домой пешком. Так я и шел, пока не встретил по дороге жену, ехавшую, чтобы подобрать меня после рейса и доставить домой. Я сел в автомобиль, и мы поехали домой. По прибытии я взглянул на настенные часы и увидел, что хотя изрядный отрезок пути я прошел пешком, жена доставила меня домой на 20 минут раньше обычного. Часов у меня, как я уже говорил, не было, но пешком я шел довольно долго. Я попытался было вычислить, сколько времени я шел пешком, но запутался и бросил выкладки. Может быть, вы могли бы сказать мне, как долго я шел пешком?
— Разумеется, — кивнул доктор. — Проще всего вычислить, как долго вам пришлось идти пешком, если «позабыть» о вас и сосредоточиться только на пути, который пришлось проделать в тот вечер вашей жене. Из сказанного вами нам известно, что ваша жена выехала из дому в обычное время, но вернулась на 20 минут раньше, чем обычно. Чтобы сэкономить 20 минут на пути до станции и обратно, ваша жена должна была сократить на 10 минут путь от дома на станцию и на 10 минут путь от станции домой. Иначе говоря, ваша жена подобрала вас за 10 минут до того, как она прибыла бы на станцию до введения летнего времени в соседнем штате. Но она прибыла бы на станцию через час после того, как вы отправились домой пешком. Следовательно, вы шли пешком все время, составляющее разность между 10 минутами и 1 часом, т. е. 50 минут.