[6] — с тех пор мы называем цифры арабскими, хотя по справедливости их следовало бы назвать индийскими. Это была уже современная десятичная система в том виде, в котором мы ее используем по сей день, у арабов отличается только написание цифр. С тем фактом, что заимствована она именно у арабов, связано не всеми осознаваемое несоответствие порядка записи цифр в числе и привычным нам порядком следования текста: арабы, как известно, пишут справа налево. Поэтому значение цифры в зависимости от позиции ее в записи числа возрастает именно справа налево, что в европейском языке нелогично — приходится заранее обозревать число целиком и готовить ему место в тексте.
Позиционные системы основаны не на простом суммировании входящих в них цифр, а на сложении их с весами, которые присваиваются автоматически в зависимости от положения цифры в записи. Так, запись «3» и в римской системе, и в арабской означает одно и то же, а вот запись «33» в римской системе означала бы шесть, а в арабской — совсем другое число, тридцать три.
Строгое определение позиционной системы является следующим: сначала выбирается некоторое число р, которое носит название основания системы счисления. Тогда любое число в такой системе может быть представлено следующим образом:
аnрn + аn-1рn-1 + … + a1р1 + a0p0. (7.4)
В самой записи числа степени основания подразумеваются, а не пишутся (и для записи основания даже нет специального значка), т. е. запись будет представлять собой просто последовательность аn … а0 (обратим внимание на то, что запись производится справа налево по старшинству — обычная математическая запись выглядела бы наоборот). Отдельные позиции в записи числа называются разрядами.
Заметки на полях
Еще один нюанс, дошедший до нас из древнегреческих времен, связан с тем, что греки и римляне не знали нуля. Именно поэтому первым годом нового века и тысячелетия считается 2001, а не 2000 год — год с двумя нулями относится к предыдущему столетию или тысячелетию — после последнего года до нашей эры (минус первого) идет сразу первый год нашей эры, а не нулевой. Однако именно нулевой логично считать первым, вдумайтесь: ведь когда мы говорим «первые годы XX века», мы имеем в виду именно 1903 или 1905, а не 1913 или 1915. Но древние греки были совсем не такие дураки и ноль игнорировали не по скудоумию. Дело в том, что в последовательности объектов, нумерованных от нуля до, например, девяти, содержится не девять предметов, а десять! Чтобы избежать этой путаницы, в быту обычно нумеруют, начиная с единицы, тогда последний номер будет одновременно означать и количество. В электронике же и в программировании обычно принято нумеровать объекты, начиная с нуля, и всегда следует помнить, что номер и количество различаются на единицу (так, в байте 256 возможных символов, но номер последнего равен 255). На всякий случай всегда следует уточнять, откуда ведется нумерация, иначе можно попасть в неприятную ситуацию (скажем, элементы строки в языке Pascal нумеруются с единицы, а в языке С — с нуля).
В десятичной системе (т. е. в системе с основанием р = 10) полное представление четырехразрядного числа, например, 1024 таково: 1∙103 + 0∙102 + 2∙101 + 4∙100.
Так как любое число в нулевой степени равно единице, то степень в младшем разряде можно и не писать, но ради строгости мы ее будем воспроизводить, так как это позволяет нам лучше вникнуть в одно обстоятельство: степень старшего разряда всегда на единицу меньше, чем количество разрядов (нумерация степеней ведется с нуля).
Ну, а как можно представить число в системе счисления с другим основанием? Для любой системы с основанием р нужно не меньше (и не больше) чем р различных цифр — то есть значков для изображения чисел. Для десятичной системы их десять — это и есть известные всем символы от 0 до 9. Выбор начертания этих значков совершенно произволен — так, у арабов и по сей день 1 обозначается, как и у нас, палочкой. А вот цифра 2 обозначается знаком, похожим на латинскую строчную «г», причем тройка тоже имеет похожее начертание, и я плохо себе представляю, как Усама бен Ладен их там отличает. Впрочем, это дело привычки, у нас тоже значки «5» и «6» в некоторых случаях различить непросто, не говоря уж о сходстве между нулем «0» и буквой «О». В ручном написании текстов программ, а также в матричных компьютерных шрифтах, которые были в ходу до появления графического интерфейса, для этого ноль даже изображали перечеркнутым, наподобие знака диаметра: «». Попробуйте различить записи «150 м» и «150 м», если пробел забыли поставить в нужном месте — в случае матричных шрифтов или ручной записи, да и в любом случае, если символов «0» и «О» рядом не стоит, это неразрешимая задача, если только из контекста не ясно, когда идет речь об омах, а когда — о метрах.
Чтобы древним вавилонянам, несчастным, не приходилось выучивать аж 60 разных начертаний знаков, они придумали логичную систему наподобие римской (еще раз обратите внимание на рис. 7.4) — действующую, впрочем, только в пределах первых шестидесяти чисел, а далее у них система становилась аналогичной современным.
Самые употребительные системы счисления в настоящее время, кроме десятичной, связаны с электроникой и потому имеют непосредственное значение для нашего повествования. Это знаменитая двоичная система и менее известная широкой публике, но также очень распространенная шестнадцатеричная.
Двоичная система
В двоичной системе необходимо всего два различных знака для цифр: 0 и 1. Это и вызвало столь большое ее распространение в электронике: смоделировать два состояния электронной схемы и затем их безошибочно различить неизмеримо проще, чем три, четыре и более, не говоря уж о десяти.
Что очень важно на практике, двоичная система прекрасно стыкуется как с представленными в предыдущем разделе логическими переменными «правда» и «ложь», так и с тем фактом, что величина, могущая принимать два и только два состояния, и получившая названия бит, есть естественная единица количества информации — меньше, чем один бит, информации не бывает. Это было установлено в 1948 году одновременно упоминавшимся Клодом Шенноном и Нобертом Винером, «отцом» кибернетики. Разряды двоичных чисел (то есть чисел, представленных в двоичной системе) также стали называть битами. (Bit, bite — по-английски «кусочек, частица чего либо». На самом деле это случайное совпадение: слово «бит» возникло от сокращения Binary digiT — «двоичная цифра».)
Заметки на полях
С троичным компьютером, который был на практике построен Н. Брусенцовым в МГУ на рубеже 60-х годов прошлого века (под названием «Сетунь»), связана отдельная история. При разработке первых компьютеров перед конструкторами встал вопрос об экономичности систем счисления с различными основаниями. Под экономичностью системы понимается тот запас чисел, который можно записать с помощью данного количества знаков. Чтобы записать 1000 чисел (от 0 до 999) в десятичной системе, нужно 30 знаков (по десять в каждом разряде), а в двоичной системе с помощью 30 знаков можно записать 215=32768 чисел, что гораздо больше 1000. Поэтому двоичная система явно экономичнее десятичной. В общем случае, если взять n знаков в системе с основанием р, то количество чисел, которые при этом можно записать, будет равно рn/p. Легко найти максимум такой функции, который будет равен иррациональному числу е = 2,718282…. Но поскольку система с основанием е может существовать только в воображении математиков, то самой экономичной считается система счисления с основанием 3, ближайшим к числу е. В компьютере, работающем по такой системе, число элементов, необходимых для представления числа определенной разрядности, минимально. Реализацию троичной системы в электронике можно представить себе, как схему с такими, например, состояниями: напряжение отсутствует (0), напряжение положительно (1), напряжение отрицательно (-1). Д. Кнут в своем труде [10] показывает, что троичная арифметика проще двоичной.
И все же брусенцовская «Сетунь» осталась историческим курьезом — слишком велики оказались сложности схемной реализации. Точнее, сам Николай Петрович Брусенцов как раз сложностей не испытывал, т. к. использовал для представления троичных цифр — тритов — трансформаторы, в которых наличие тока в обмотке в одном направлении принималось за 1, в другом — за -1, а отсутствие тока обозначало 0. Но реализовать на транзисторах такое представление значительно сложнее, чем двоичное. В наше время многоуровневые логические ячейки (правда, не троичные, а совместимые с двоичной логикой четвертичные) все же получили развитие — они служат для увеличения плотности упаковки информации в элементах флэш-памяти.
Стоит также отметить, что представление двоичных цифр с помощью уровней напряжения, как это делается в электронных устройствах, есть точно такая же модель числа, как раскладывание на земле палочек и проведение черточек на бумаге. В последних случаях мы оперируем с числами вручную, по правилам арифметики, а в электронных схемах это происходит в автоматическом режиме, без участия человека — вот и вся разница! Это очень важный момент, который следует хорошо осмыслить, если вы действительно хотите вникнуть в суть работы цифровых электронных схем.
Итак, запись числа в двоичной системе требует всего две цифры, начертание которых заимствовано из десятичной системы, и выглядит, как 0 и 1. Число, например, 1101 тогда будет выглядеть так:
1∙23 + 1∙22 + 0∙21 + 1