∙20 = 13.
Чтобы отличить запись числа в различных системах, часто внизу пишут основание системы:
11012= 1310.
Если система не указана, то имеется в виду обычно десятичная, но не всегда. Часто, когда из контекста понятно, что идет речь об электронных устройствах, не указывают не только основание «два», но и под словом «разрядность» имеют в виду количество именно двоичных, а не десятичных разрядов (таков, скажем, смысл термина «24-разрядный цвет»).
Шестнадцатеричная система
Шестнадцатеричная система имеет, как ясно из ее названия, основание шестнадцать. Для того чтобы получить шестнадцать различных значков, изобретать ничего нового не стали, а просто использовали те же цифры от 0 до 9 для первых десяти знаков, и заглавные латинские буквы от А до F — для знаков с одиннадцатого по шестнадцатый. Таким образом, известное нам число 1310 выразится в шестнадцатеричной системе, как просто D16. Соответствие шестнадцатеричных знаков десятичным числам следует выучить наизусть: А — 10, В — 11, С — 12, D — 13, Е — 14, F — 15. Значения больших чисел вычисляются по обычной формуле, например:
A2FC16= 10∙163 + 2∙162 + 15∙161 + 12∙160 = 40960+ 512 + 240 + 12 = 4172410.
Перевод из одной системы счисления в другую
Как следует из ранее изложенного, перевод в десятичную систему любых форматов не представляет сложности и при надлежащей тренировке может осуществляться даже в уме. Для того чтобы быстро переводить в десятичную систему двоичные числа (и, как мы увидим, и шестнадцатеричные тоже), рекомендую выучить наизусть таблицу степеней двойки до 16:
На первое время достаточно запомнить верхний ряд, остальное выучится позже само.
Сложнее переводить из десятичной системы в двоичную, в учебниках описывается устрашающая процедура, основанная на делении столбиком. Я сейчас попробую вам показать способ, который позволяет переводить числа в двоичную систему несколько более простым методом, причем небольшие числа можно преобразовать даже в уме. Это, в сущности, то же самое деление, но без излишних сложностей и формальностей. Запомните сначала следующее правило: число, равное какой-либо степени двойки, имеет 1 в разряде с номером, на единицу большим степени, остальные все нули:
21 = 210 =102;
22 = 410 = 1002;
23 = 810 = 10002 и т. д.
Способ состоит в следующем: пусть мы имеем, например, десятичное число 59. Подбираем наибольшую степень двойки из таблицы ранее, не превышающую этого числа: 32, что есть 5-я степень. Ставим 1 в шестом разряде: 100000. Вычитаем подобранную степень из исходного числа (59–32 = 27) и подбираем для остатка также степень, его не превышающую: 16 (24). Ставим единицу в 5-м разряде: 110000. Повторяем процедуру вычитания-подбора: 27–16 = 11, степень равна 8 (23), ставим единицу в 4-м разряде: 111000. Еще раз: 11 — 8 = 3, степень равна 2 (21), ставим единицу во 2-м разряде: 111010. Последнее вычитание дает 1, которую и ставим в младший разряд, окончательно получив 5910 = 1110112. Если бы исходное число было четным, к примеру 58, то в последнем вычитании мы бы получили 0, и число в двоичной системе также оканчивалось бы на ноль: 5810 = 1110102.
Кстати, полезно также обратить внимание, что числа, на единицу меньшие степени двойки, имеют количество разрядов, равное степени, и все эти разряды содержат единицы:
21 — 1 = 110 = 12;
22 — 1 = 310 = 112;
23 — 1 = 710 = 1112;
Подобно тому, как наибольшее трехразрядное число в десятичной системе равно 999, и чисел таких всего 103 = 1000 (от 000 до 999), в двоичной системе тех же трехразрядных чисел будет 23 = 8 штук, в диапазоне от 000 до 111, т. е. от 0 до 7. Таким образом, наибольшее двоичное число с данным количеством разрядов будет всегда содержать все единицы во всех разрядах.
А вот из двоичной системы в шестнадцатеричную и обратно перевод очень прост: 16 есть 24 и без всяких вычислений можно утверждать, что одноразрядное шестнадцатеричное число будет иметь ровно 4 двоичных разряда. Поэтому перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную осуществляется так: двоичное число разбивается на т. н. тетрады, т. е. группы по четыре разряда, а затем каждая тетрада переводится отдельно и результаты выписываются в том же порядке. Так как в тетраде всего 16 вариантов, то их опять же легко выучить наизусть:
Например, число 5910, т. е. 0011 10112, будет равно 3Bh.
Точно так же осуществляется и обратный перевод — каждое шестнадцатеричное число просто записывается в виде совокупности тетрад. Так, число A2FC16 выразится, как 1010 0010 1111 11002. Заметьте, что пробелы между тетрадами введены просто для удобства восприятия, подобно пробелам между тройками разрядов (классами) в записи больших десятичных чисел, и никакой иной нагрузки не несут. При записи двоичных чисел в тексте программ, как ассемблерных, так и программ на языках высокого уровня, естественно, эти пробелы ставить запрещается.
В качестве упражнения можете поразмыслить над вопросом, как переводить числа из двоичной в восьмеричную и четверичную системы, и наоборот: если вы справитесь с этим самостоятельно, считайте, что вы все поняли насчет систем счисления, применяемых в электронике.
Байты
Слово байт (byte) создано искусственно и представляет собой сокращение от BinarY digiT Eight, что буквально переводится, как «двоичная цифра восемь». На самом деле байт — это просто восьмиразрядное двоичное число. Соответственно, он имеет ровно два шестнадцатеричных разряда, или две двоичных тетрады. Такой байт был введен фирмой IBM в конце 50-х годов прошлого века, до этого (а в СССР — вплоть до 1969 года) применялись байты с другим количеством разрядов (5, 6 и 7).
Почему именно 8 разрядов? Да просто потому, что так удобно: число кратно степени двойки, т. е. легко масштабируется, скажем, шестнадцатиразрядное число — просто два байта, записанные подряд, подобно тетрадам в самом байте. В то же время оно относительно невелико и одновременно достаточно емко: имеет 256 значений, которых с лихвой хватает, к примеру, для представления всех печатных знаков европейских алфавитов (во всяком случае, до нашествия фирмы Microsoft с ее системой Windows хватало — что, конечно же, следует рассматривать, как шутку).
Поэтому в настоящее время байт — общепринятая единица измерения информации, т. к. основную единицу — бит — на практике применять неудобно из-за ее «мелковатости», числа получаются слишком большими. Применяют и меньшие единицы (кроме бита, это полубайт, или просто одно шестнадцатеричное число), и большие — двухбайтовые (65 536 значений), четырехбайтовые (32 двоичных разряда или 4 294 967 296 значений) и даже восьмибайтовые числа. Все они часто называются словами — «word».
Однако на практике распространение получила запись больших количеств информации по системе, «слизанной» с десятичной: это килобайт (1024 или 210 байта), мегабайт (1024 или 210 килобайта) и гигабайт (1024 или 210 мегабайта). Близостью значения 1024 к десятичной тысяче широко пользуются производители жестких дисков — так, емкость диска в 10 Гбайт может быть вовсе не 1024x1024 килобайта, как положено, а 1000x1000, что почти на пять процентов меньше. Пустячок — а ведь приятно обмануть покупателя, который потом будет с недоумением раздумывать, почему ему в настройках компьютера показывается вовсе не 10, а 9,54 Гбайта, и куда исчезли «родные» 460 Мбайт? Однако имейте в виду, что подобные фокусы все же выкидываются только в отношении наивных покупателей, а в серьезной технической документации кило- и мегабайты обычно означают то, что положено.
Подробности
В однобуквенных сокращениях принято обозначать байт большой буквой (Б), чтобы отличить его от бита (б), но в критичных случаях во избежание разночтений следует писать полностью: «кбайт», «кбит». В 1999 году Международная электротехническая комиссия (МЭК) с большим опозданием попыталась устранить неоднозначность в обозначениях кратности, введя специальные двоичные приставки киби (вместо «кило»), меби (вместо «мега») и гиби (вместо «гига»), означающие умножение на 1024 вместо 1000. Однако «килобайты» и «мегабайты» к тому времени настолько прижились, что эти не очень удачно звучащие обозначения так и не стали общепринятыми. Приставку «кило» в единицах информации иногда предлагают писать с большой буквы (Кбайт), чтобы подчеркнуть, что речь идет об умножении на 1024, а не на 1000, однако для приставок «мега» и «гига» (а также всех остальных) такого удобного приема уже нет. В большинстве случаев эти неоднозначности проблем не вызывают.
На практике можно встретить обозначение единиц информации из одной буквы (напр. «256 К памяти»), но злоупотреблять таким способом не следует, т. к. часто приходится гадать, идет ли тут речь о битах, байтах, словах или вообще бодах (см. далее). Мы вслед за фирменным описанием Atmel будем пользоваться такой нотацией (К или М без указания единиц), но исключительно для обозначения абсолютных чисел (например, «диапазон 4 М», что значит 4 х 1024 х 1024 = 4194304), обозначающих обычно адреса в памяти программ, разбитые по двухбайтовым словам.
Впрочем, есть одна область, где традиционно употребляются именно биты (а также мегабиты и гигабиты), а не байты — это характеристики последовательных цифровых линий передач, к примеру, всем знакомая характеристика модемов в 56 К означает именно 56 кбит в секунду. Биты в секунду иногда называют бодами (по имени изобретателя телетайпного аппарата Эмиля Бодэ), но это не совсем точно. Употребление именно битов в сетях передачи данных связано с тем, что передача восьмиразрядными пакетами там применяется редко — скажем, стандарт RS-232, который мы будем еще разбирать, содержит восемь значащих разрядов (т. е. один байт), но помимо этого передается как минимум еще два бита (столовый и стартовый) — итого 10. В Интернете пакеты и вовсе могут иметь переменную длину, а модемы за одну посылку (как говорят связисты, за одну модуляцию) могут посылать от одного до 16 битов (