Эти вычисления предсказывали радиус для атома водорода[86] в соответствии с тем, что было известно в начале 1900-х о примерном размере атома. Зная скорость электрона становится возможным вычислить его кинетическую энергию, что вместе с электромагнитным притяжением ядра может дать информации о том, сколько необходимо вложить в атом энергии, чтобы полностью удалить электрон – то есть сколько дополнительной кинетической энергии электрону надо, чтобы преодолеть притяжение ядра. Значение, которое Бор вычислил для своей «энергии ионизации», совпадало с полученными в экспериментах значениями для водорода. Эти результаты послужили полезным «проверочным тестированием» для предположения, что модель выстраивается в нужном направлении. Конечным результатом стал набор стационарных состояний, каждое из которых определялось целым числом единиц углового импульса, что в итоге привело к определению точного количества энергии для каждого состояния.
Энергия электрона на орбите вокруг ядра – это комбинация его кинетической энергии, благодаря его движению и потенциальной энергии в результате притяжения ядра. По договоренности в физике кинетическая энергия всегда положительна, в то время как потенциальная энергия отрицательна и зависит от расстояния между электроном и ядром. Потенциальная энергия электрона увеличивается по мере его удаления от ядра, поднимаясь почти до нуля, когда расстояние становится очень большим, и стремится к отрицательной бесконечности, когда электрон находится прямо на ядре. Эта договоренность позволяет четко разделять состояния, когда электрон и ядро связаны вместе и создают атом и когда электрон просто пролетает мимо, и у него есть шанс избежать захвата ядром. Если сумма его кинетической и потенциальной энергии отрицательна, электрон всегда будет где-то поблизости от ядра, и таким образом мы можем сказать, что он связан с атомом.
Квантовое условие Бора в сочетании с классической физикой для частицы на орбите дает набор орбит, каждая из них имеет общую отрицательную энергию, следуя простому паттерну: энергия n-ого состояния равна энергии ионизации, поделенной на n2):
Это соответствует набору круговых орбит с увеличивающимся радиусом и энергий, которые увеличиваются в сторону нуля. Также существует широкий диапазон энергий, просто невозможных – электрон с одной из таких энергий не удовлетворяет квантовому условию Бора[87].
Модель Бора описывает орбиту, где электрон стабилен по определению и не испускает никакого света. Чтобы получить спектр испускаемого или поглощаемого атомом света, Бор применил то же правило, использованное Планком и Эйнштейном для соотношения частоты света с энергией. В модели Бора свет испускается во время квантовых прыжков с одной орбиты на другую: когда атом испускает свет, электрон падает с высокоэнергетической орбиты на орбиту с меньшей энергией, а когда атом поглощает свет, электрон сдвигается с орбиты с низкой энергией на орбиту с более высокой. (Мы обсудим причину этих прыжков между состояниями в главе 5.) В обоих случаях изменение энергии электрона рассчитывается для энергии света, что связано с частотой света согласно правилу Планка.
Что определяет спектр водорода, так это не энергия данной орбиты, а изменение энергии при перемещении электрона между орбитами. Дискретные орбиты в модели Бора ведут прямо к дискретному набору линий в определенных энергиях спектра и дают простое объяснение формулы Ридберга: 1/λ. = R (1/m2 – 1/n2): на левой стороне уравнения 1/λ относится к энергии излученного фотона, в то время как на правой, единица над целым количеством значений в квадрате, относится к энергиям стационарных состояний Бора. Постоянная R – просто энергия ионизации для водорода, поделенной на постоянную Планка и скорость света – значения, которые отлично были проверены. Различные наборы спектральных линий соответствуют группам перемещений, когда электроны останавливаются на какой-нибудь конкретной орбите, как это проиллюстрировано на рисунке ниже: видимые серии Бальмера включают атомы, испускающие фотон, что заканчивается состоянием n=2, в то время как ультрафиолетовые серии Лимана включают атомы с n=1.
Модель Бора также соотносит постоянную R в формуле Ридберга с фундаментальными физическими величинами, такими как масса и заряд электрона. Это может показаться не таким уж и важным достижением, но мало есть вещей, которые физики не любят так сильно, как появление новых постоянных, чье происхождение не может быть привязано ни к чему больше. Это позволяет модели Бора распространяться на ионы более тяжелых элементов, у которых удалены все электроны кроме одного. Согласно модели, энергия стационарных состояний должна зависеть от квадрата заряда ядра. Понимание этого было особенно важным для понимания спектра х-лучей (рентгеновских), испускаемых различными элементами, и помогло объяснить организацию Периодической таблицы, как это будет более подробно рассказано в главе 6.
Орбиты и энергетические уровни в модели Бора вместе с перемещениями привели к трем рядам спектральных линий.
Несомненно, остается еще одна проблема с моделью Бора, равно как и с моделью излучения черного тела, разработанной Планком, которая вдохновила на ее создание: нет явной причины для введения квантовой гипотезы стационарных состояний. До тех пор, пока вы желаете согласиться с ней, модель Бора прекрасно подходит для водорода и водородоподобных ионов. Это может показаться скромным успехом, но поскольку это был первый успех за десятилетия, он начал революцию. Другие физики, особенно Арнольд Зоммерфельд[88], нашли способы формализовать квантовую идею Бора математически, и это стало очень скоро доминантной основой для понимания структуры атомов и молекул[89].
Огромный успех модели Бора был концептуальным, он ввел в оборот идею дискретных энергетических состояний внутри атомов, основываясь на квантовой гипотезе Планка и модели квантованного света Эйнштейна. В то время как для определения этих атомных состояний и их энергий использовались математические техники, они очень сильно изменились. Эта центральная концепция остается в силе и считается абсолютно фундаментальной для нашего современного понимания физики и химии.
В сущности все, что мы знаем о структуре атомов и молекул, исходит из использования света, который они излучают для вычисления энергий их допустимых состояний. Для более тяжелых атомов спектр может быть очень сложным и обеспечивает богатую информацию о расположении электронов и взаимодействии между ними. Точно так же, как спектр черного тела Планка позволяет нам определять температуру далеких объектов во Вселенной, характерные линии поглощения и излучения различными элементами позволят нам определять, из чего сделаны эти объекты. Здесь, на Земле, также множество технологий химического анализа зависят от идентификации спектральных линий конкретных атомов и молекул.
Эти спектральные линии также находят техническое применение в нашей повседневной жизни, например, флуоресцентное освещение. Флуоресцентные лампочки содержат газ, состоящий в основном из атомов ртути. Когда они возбуждаются электрическим током, эти атомы испускают свет в красном, зеленом и синем диапазонах спектра, производя свет, который кажется синевато-белым для нашего зрения Они также излучают достаточное количество невидимого ультрафиолетового света, и флуоресцентные трубки покрыты химическим составом, он и поглощает энергию от ультрафиолетового света и излучает его в видимом диапазоне, увеличивая количества производимого света, что позволяет дизайнерам по свету контролировать смеси цветов для получения различных эффектов.
Высокая эффективность флуоресцентных ламп также есть, в конечном счете, функция от квантового условия Бора. Раскаленная лампа должна нагревать свою нить до достаточно высокой температуры, чтобы генерировать спектр черного тела с нужным цветом, но излучаемый спектр будет обязательно включать большое количество инфракрасного света, который наши глаза не видят. Газ в флуоресцентной трубке достаточно разрежен, так что атомы в сущности не зависят друг от друга, поэтому они испускают свет не в широком спектре, а в конкретных линиях, сконцентрированных в видимом диапазоне.
В результате, хотя общее количество света, сгенерированного для данного тока, может быть и меньше, большая часть этого света видима для людей, поэтому в целом эффективность такой лампы выше.
Атомные часы
Модель атома Бора и информация, которую он дал нам о спектрах света, излучаемых атомами, также заложило фундамент для революции в измерении времени – вот почему сегодня устройство даже дешевого будильника включает в себя квантовые принципы. Частота света, поглощенного или излученного атомами конкретного элемента, определяется только разницей в энергии между двумя состояниями электрона, и такие состояния являются фиксированными согласно законам физики. Каждый атом цезия во Вселенной идентичен любому другому атому цезия, и поэтому они все действуют как идеальные маленькие генераторы одинаковых частот: если атом цезия поглощает свет, вы точно и без вопросов знаете, какой частоты был этот свет. Наконец, у нас есть источник света, который мы можем считать основой для наших часов.
Современное определение секунды – это время, за какое происходит 9,192,631,770 колебаний света, связанного с переходом между двумя конкретными состояниями электрона в атоме цезия[90]. Самые современные атомные часы состоят из лабораторного источника света в микроволновом диапазоне и набора из нескольких миллионов атомов цезия, охлажденных до нескольких миллионных долей градуса выше абсолютного нуля, это и служит базовой частотой. Облако из таких атомов с подготовленным электроном в одном состоянии запускается вперед через полость, в котором атомы взаимодействуют со светом от источника микроволнового излучения. Затем атомы замедляют свое движение под действием гравитации и, наконец, снова падают обратно через полость. Этот второй проход через полость дает второе взаимодействие с микроволновым излучением, после него атомы измеряются, чтобы узнать, в каком они состоянии. Если частота микроволнового источника точно совпадает с частотой, связанной с переходом цезия, все атомы будут переведены во второе состояние, в то время как небольшая ошибка в частоте будет приводить к тому, что некоторые из атомов останутся в начальном состоянии. Специалисты, управляющие часами, используют часть атомов, совершивших переход, для определения, насколько подстроить частоту микроволнового излучения, чтобы она лучше соответствовала переходу электрона в атоме цезия, и процесс повторяется.