это предложение». – «Я понимаю, но о каком предложении в нем идет речь?» – «Об этом». – «Хорошо, а к какому предложению отсылает это предложение?» и т. д. Он не смог бы нам объяснить, что он имеет в виду, пока не перешел бы к полному предложению. – Также мы вправе сказать: Фундаментальная ошибка заключается в том, что думают, будто слово, например, «это предложение», может как бы намекнуть на него (издали указать на него), не выступая представителем своего предмета.
692. Поставим перед собой вопрос: Какой практической цели может служить расселовская теория типов? – Р[ассел] обращает наше внимание на то, что порой мы должны ограничивать способ выражения всеобщности, чтобы избежать нежелательных выводов.
693. От резонерства, ведущего к бесконечному регрессу, следует отказаться не потому, что ‘так мы никогда не сможем достичь цели’, а потому, что здесь вовсе отсутствует какая-либо цель; так что бессмысленно говорить о том, что «мы не сможем ее достичь».
Мы с легкостью убеждаем себя, что, пробежав несколько этапов регресса, мы могли бы потом, так сказать, в отчаянии от него отказаться. В то время как его бесцельность (отсутствие цели в исчислении) следует выводить из исходной позиции.
694. Вариант диагонального метода Кантора: Пусть N = F(k, n) будет формой закона разложения десятичных дробей. N есть n-ое место на k-ом шаге. Тогда диагональный закон имеет форму N = F (n, n) = Def. F’ (n).
Следует доказать, что F’ (n) не может быть одним из правил F(k, n). Положим, что оно является сотым. Тогда правило формирования
F’ (1) F (1, 1)
F’ (2) F (2, 2) и т. д.
Но правилом образования сотого места F’ (n) будет F (100, 100); т. е. правило гласит, что сотое место должно быть равно самому себе и, следовательно, для n = 100 нет правила.
Правило игры гласит «Делай то же, что и…..!» – и в особом случае оно становится правилом «Делай то же, что и раньше!»
695. Понимание математического вопроса. Как мы узнаём, понятен ли нам математический вопрос?
Вопрос – можно так сказать – это задание. Понимать задание означает: знать, что нужно делать. Конечно, задание может быть весьма туманным – например, когда я говорю: «Принеси ему что-нибудь, что ему поможет!» Но это может означать: подумай о нем, его состоянии и т. д. в дружеском ключе и потом принеси ему что-то, что, на твой взгляд, ему подойдет.
696. Математический вопрос – это вызов. И можно было бы сказать: он имеет смысл, если побуждает нас к математической деятельности.
697. Можно было бы сказать далее, что вопрос в математике имеет смысл, если он стимулирует математическую фантазию.
698. Перевод с одного языка на другой является математической задачей, а перевод лирического стихотворения, к примеру, на иностранный язык вполне можно сравнить с математической проблемой. Можно сформулировать проблему: «Как, например, эту шутку перевести шуткой на другом языке?», то есть заменить одну шутку на другую; эта проблема может быть решена; но метод, система ее решения – отсутствуют.
699. Представь себе людей, которые вычисляют с помощью ‘чрезвычайно сложных’ цифр. Они предстают как фигуры, возникающие при наложении наших цифр друг на друга. Например, они записывают число π до пятого знака после запятой следующим образом:
Наблюдающему за ними будет сложно догадаться, что они делают. И возможно, они сами не смогут ничего объяснить. Ведь будучи записанной другим шрифтом, эта цифра может изменить свой внешний (данный нам) вид до полной неузнаваемости. И то, что делают эти люди, будет казаться нам чисто интуитивным.
700. Зачем нам счет? Он оказался удобным? Мы пользуемся нашими понятиями, например психологическими понятиями, потому что это выгодно? – Да, у нас есть некоторые понятия такого сорта, именно поэтому они и были введены.
701. Впрочем, различие между тем, что называют предложениями в математике, и предложениями повседневного опыта проявится во всей красе, если поразмыслить над тем, имеет ли смысл сказать: «Я хочу, чтобы 2 × 2 равнялось 5!»
702. Если считать, что уравнение 2 + 2 = 4 является доказательством предложения «существуют четные числа», то станет видно, сколь нестрого употребляется здесь слово «доказательство». Из уравнения 2 + 2 = 4 должно следовать предложение «существуют четные числа»?! – А что будет доказательством существования простых чисел? – Метод разложения на простые множители. В этом методе, однако, вообще даже не говорится ни о каких «простых числах».
703. «Дети, чтобы успевать по математике в начальной школе, вынуждены быть большими философами; за неимением этого им остается тренировка и тренировка».
704. Рассел и Фреге толкуют понятие как свойство вещи. Но это довольно противоестественно ‒ толковать слова «человек», «дерево», «трактат», «круг» как свойства субстрата.
705. Понимание функции Дирихле[80] возможно только там, где она не стремится выразить бесконечный закон одним списком, ибо не существует бесконечного списка.
706. Числа не являются основанием для существования математики.
707. Понятие ‘упорядочения’, например, рациональных чисел и понятие ‘невозможности’ так упорядочить иррациональные числа. Сравни это с тем, что называют ‘упорядочением’ цифр. Сходным образом сравни различие между ‘присоединением’ одной цифры (или ореха) к другой и ‘присоединением’ всех целых чисел к четным числам; и т. д. Повсюду сдвиги понятий.
708. Очевидно, существует способ изготовления линейки. Этот метод предполагает идеал, я имею в виду, процедуру приближения к неограниченной возможности, ибо сама эта процедура и есть идеал.
Или скорее так: Только в том случае, если существует процедура приближения к неограниченной возможности, геометрия этой процедуры может (а не должна) быть эвклидовой.
709. Рассматривать вычисление как орнамент – это тоже формализм, но не самый плохой его сорт.
710. Можно рассматривать вычисление как орнамент. Одна фигура на плоскости может гармонировать или не гармонировать с другой, объединяться с другими фигурами разными способами. Если фигура еще и цветная, тогда добавляется еще один критерий – подходят ли они друг другу по цвету. (Цвет – это лишь еще одно измерение.)
711. Может существовать такой способ рассмотрения электрических машин и устройств (генераторов, радиостанций и т. д. и т. п.), который, так сказать, непредвзято принимает эти предметы за простое соединение в пространстве меди, железа, резины и т. д. И этот способ рассмотрения может привести к некоторым весьма интересным результатам. Он совершенно аналогичен рассмотрению математических предложений как орнамента. – Разумеется, это вполне строгое и корректное понимание; а отличительная черта и сложность его состоит в том, что оно рассматривает предмет без какой-либо предвзятой идеи (так сказать, с точки зрения марсианина) или, точнее: разрушает (перечеркивает) привычную, предвзятую идею, объяснение.
712. (Стиль моего изложения подвергся исключительно сильному влиянию Фреге. При желании я мог бы обнаружить это влияние и там, где с первого взгляда его никто не заметит.)
713. «Положи это сюда» – при этом я показываю пальцем на определенное место – вот абсолютное указание местоположения. И тот, кто говорит, что пространство абсолютно, в качестве аргумента мог бы привести это: «В конце концов, существует же такое место: здесь». [Заметка на полях: ((Возможно, относится к первой языковой игре.))]
714. Вообрази себе душевную болезнь, при которой человек может понимать и использовать имена только в присутствии их носителей.
715. Может существовать такой способ употребления знаков, при котором они становятся бесполезными (при котором они уничтожаются), как только перестают существовать их носители.
В такой языковой игре имя будет привязано к предмету как бы веревкой; и когда предмет исчезнет, можно будет отбросить и имя, которое работало с ним заодно. (Слово “handle”[81] для имен собственных.)
716. Как быть с двумя такими предложениями: «этот лист красный» и «этот лист такого цвета, который по-немецки называется ‘красный’»? Они оба означают одно и то же?
Не зависит ли это от того, каков критерий того, что некоторый цвет по-немецки называют ‘красным’?
717. «Ты не можешь слышать Бога, когда Он разговаривает с другим человеком, но лишь тогда, когда Он обращается к тебе». – Это грамматическое замечание.