секающиеся подмножества тел, имеющих одинаковый вес). Если некоторое множество равнообъемных предикатов содержит предикаты конечного объема, то объем любого из этих предикатов объявляется некоторым натуральным числом. Подробнее, процедура определения состоит в следующем. Нулем объявляется объем предиката х ≠ х, который пуст. Это число можно определить и на языке свойств, сказав: число нуль — это свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным предикату x ≠ x. Единицей объявляется свойство быть множеством, задаваемым предикатом, равнообъемным какому-либо предикату, в объем которого входит единственный предмет, скажем, предикату «быть Солнцем». Чтобы не возникло впечатления, что единица здесь определяется через самое себя («единственный предмет»), можно вместо предиката «быть Солнцем» взять предикат «быть пустым множеством» (объем которого состоит из единственного предмета — пустое множество только одно) и определить: «Единица есть свойство множества, задаваемого предикатом «быть пустым множеством»». Число два тогда определяется как свойство множества. задаваемого предикатом «х есть предмет, удовлетворяющий либо свойству х ≠ х, либо свойству быть пустым множеством» и т. д. Заметим, что, определяя на этом пути натуральные числа, можно поступить и иначе: считать натуральными числами сами множества равнообъемных конечных множеств.
Как смотреть на это определение? Разумное основание Для данного подхода имеется. Фактически мы хотим определить здесь натуральное число как нечто, присущее всем Равночисленным множествам. Скажем, число два это не есть две утки, два яблока и т. д., а есть то общее, что характеризует все пары предметов. Можно сказать и проще: число два есть и две утки, и два яблока, и т. д.
Но несмотря на всю скрупулезность Фреге, строивши на очерченной логико-множественной базе арифметику натуральных чисел, его логическая конструкция оказалась формально-противоречивой. Суть дела состояла в следующем.
Логическая теория Фреге позволяла, грубо говора вводить в рассмотрение предикаты от предикатов (то есть свойства предикатов и отношения между предикатами предикаты от предикатов, определенных на предикатах, а также множества множеств, множества множеств множеств и т. д. При этом никаких ограничений на образована множеств — на задание их с помощью предикатов — не налагалось. Это допускало в теорию такие образования как «свойство, которым оно само не обладает» или «множество, не входящее в самое себя в качестве элемента». Скажем, множество всех абстрактных понятий содержит само себя в качестве элемента, так как предикат «быть абстрактным понятием» есть тоже абстрактное понятие — в отличив например, от множества людей, которое не содержит саж» себя как элемент, поскольку человечество не есть человек. Поэтому, если быть последовательным в проведении логико-множественного подхода, придется допустить законное» понятия «множества всех множеств, не включающих себя в качестве элемента».
В 1902 году Рассел обнаружил, что в указанном понятии заключено логическое противоречие. Он, видимо, пытался разобраться в возникшей ситуации сам, но сомнения одолевали, и поэтому через год он обратился письменно к Фреге, прося дать разъяснения. Письмо, очевидно, из уважения к Фреге, было написано по-немецки. Мы приводим полный перевод этого исторического документа, сделанный с английского перевода, выполненного Яном ван Хейеноортом и прочитанного лично Бертраном Расселом, разрешившим его публикацию в книге Хейенсюрта «От Фреге до Гёделя»[24] (эта книга представляет собой сборник классических работ — и фрагментов работ — по математической логике и основаниям математики).
Фрайдис-хилл, Хейслмир, 16.6.1902
Дорогой коллега, уже полтора года назад я познакомился с Вашими «Основными законами арифметики», но только сейчас я сумел найти время, чтобы изучить Вашу работу тщательно, как я все время намеревался это сделать. Я обнаружил, что согласен с Вами во всем главном, в частности в том, что Вы отвергаете все психологические моменты в логике, и β Вашей высокой оценке идеографии[25] в основаниях математики, которые сейчас трудно отделить от формальной логики. В связи со многими частными вопросами я нашел в Вашей книге множество рассуждений, тонких исследований и определений, которые тщетно было бы искать в сочинениях других логиков. В вопросах, касающихся функций, я самостоятельно пришел к взглядам, совпадающим с Вашими даже в деталях. Имеется только один пункт, в котором я встретился с трудностью. Вы утверждаете, что функция[26] не нуждается в прямом определении. Я тоже раньше так думал, но сейчас такая точка зрения кажется мне сомнительной из-за следующего противоречия. Пусть w есть предикат «быть предикатом, который не относится к самому себе». Относится ли этот предикат к самому себе? Из любого ответа на этот вопрос вытекает противоположный ответ. Поэтому мы можем заключить, что w не есть предикат. Точно так же не существует такого множества (рассматриваемого как целое), элементами которого являются множества. не содержащие самих себя. Отсюда я заключаю, что при определенных условиях понятию множества не соответствует ничего такого, что может рассматриваться как объект.
Сейчас я заканчиваю книгу о принципах математики[27], и в ней мне хотелось бы рассмотреть Вашу работу весьма подробно. Я уже имею в распоряжении Ваши книги или скоро куплю их, но я был бы весьма благодарен, если бы Вы прислали мне оттиски Ваших статей, опубликованных в периодических изданиях. Впрочем, если это невозможно, я могу читать их, беря в библиотеке.
Умение хорошо применять логику в фундаментальных вопросах, где бессильны формулы, встречается очень редко; в Ваших работах я нахожу лучшее из таких применений, имеющихся на сегодня, поэтому я разрешу себе выразить Вам свое глубокое уважение. Очень жаль, что Вы не опубликовали второй том «Основных законов»; надеюсь, что это все же будет сделано.
С уважением Бертран Рассел
В словах Рассела о втором томе книги Фреге не было, конечно, никакой иронии. Но была ирония судьбы, ибо этот том вот-вот должен был выйти в свет, когда Фреге получил письмо Рассела. Проявив редкую научную добросовестность и мужество, Фреге включил в книгу вышедшую в 1903 году, следующие слова:
«Вряд ли существует что-нибудь более нежелательное для ученого, чем после окончания работы увидеть, как рушатся ее основы. Именно в такое положение поставило меня письмо г-на Бертрана Рассела, полученное мной, когда книга была уже в печати»[28].
Как пишет американский логик X. Карри в своей книге «Основания математической логики», последствия письма Рассела были для Фреге трагическими. «Хотя ему тогда было всего пятьдесят пять лет и он прожил после этого более двадцати лет, он больше не опубликовал ни одной значительной работы по логике»[29]. Более того, после обнаружения противоречия Фреге два семестра не читал лекций в Иенском университете, профессором которого состоял, а потом, возобновив их, читал лекции по «записи в понятиях» и основаниям геометрии, но не по основаниям арифметики[30].
До конца дней он пытался найти выход из возникшей трудности обоснования арифметики, возложив все надежды на геометрию, — идя от нее, он пытался наметить пути обоснования и арифметики, и всей математики[31].
Но как бы нас ни трогала судьба Фреге, в первую очередь нам интересно, во что вылился логицизм как течение в основаниях математики и что стало с теоретико-множественной концепцией ее обоснования. Теории обладают значительно большей жизнеспособностью и стойкостью, чем люди. Что касается логицизма, то его взялся отремонтировать сам «разрушитель» — Бертран Рассел. Вместе с Альфредом Уайтхедом он издал в 1910—1913 годах труд «Principia Mathematica», в котором излагался новый вариант логико-множественного подхода к арифметике, где с помощью некоторых ограничений, наложенных на процесс формирования «вторичных» множеств приведенный в письме Рассела парадокс был исключен[32]. Однако система Рассела — Уайтхеда оказалась слишком громоздкой и базирующейся на допущениях, которые далеко не всем математикам и логикам представлялись убедительными[33].
Возникшие трудности были сигналом тревоги для тех специалистов, которые «отвечали» за основания математики. Источник противоречия, возникшего у Фреге, был, очевидно, в самом построении рассуждений. Поэтому надо было по-новому взглянуть на весь процесс математического доказательства и прежде всего проанализировать лежащие в его основе допущения. Так началась великая переоценка математических ценностей, которая далеко еще не закончилась и к настоящему времени, но уже дала ценнейшие плоды не только в математике и логике, но и в осмысливании проблем человеческого познания и его возможностей в создании машинных «усилителей интеллекта».
5. ПРОВОЗВЕСТНИКИ ПЕРЕМЕН
Мы уже сказали, что первой математической реакцией на трудности, обнаруженные при последовательном проведении теоретико-множественной установки в математике, они выразились не только в парадоксе Рассела, но и в ряде других формально-логических противоречий в канторовской теории, некоторые из которых были сформулированы даже раньше, чем противоречие в системе Фреге, были «ремонтные меры», предпринятые Расселом. Но этот мыслитель продолжал стоять на теоретико-множественной позиции.
Поэтому естественно, что нашлись люди, которые сочли эти меры полумерами и призвали математический мир пойти в отказе от прежнего образа мыслей гораздо дальше. Реформы ничего не дадут, провозгласили они, нужна революция! Одним из наиболее «левых» был голландский математик, уже получивший к тому времени известность своими работами в области топологии, Луитцен Ян Эгбертус Брауэр (1881—1966)