При подсчете недостаточно определять число деревьев каждой породы; необходимо еще знать, сколько имеется стволов каждой толщины: сколько 25-сантиметровых, сколько 30-сантиметровых, 35-сантиметровых и т. д. В счетной ведомости окажется поэтому не четыре только графы, как в нашем упрощенном примере, а гораздо больше. Вы можете представить себе теперь, какое множество раз пришлось бы обойти лес, если бы считать деревья обычным путем, а не так, как здесь объяснено.
Как видите, счет является простым и легким делом только тогда, когда считают предметы однородные. Если же надо приводить в известность число разнородных предметов, то приходится пользоваться особыми, объясненными сейчас приемами, о существовании которых многие и не подозревают.
Глава пятая ЧИСЛОВЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ
Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее удивительно заманчивое предложение:
- Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами - полтинниками, двугривенными и пятаками. Сто рублей за пять! Кто желает?
Воцарялось молчание. Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, но ответного предложения все же почему-то не поступало.
- Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за сторублевый билет. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3! Желающие, составляйте очередь!
Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем, и счетчик обращался с новым предложением:
- Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму еще на рубль: уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.
Так как никто не выражал готовности совершить обмены, счетчик продолжал:
- Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить.
Со своей стороны, я также готов уплатить сто рублей каждому читателю, который пришлет мне на бумаге соответствующий реестр. Корреспонденцию направлять по адресу издательства на мое имя.
Можете ли вы число 1000 выразить восьмью восьмерками? (Кроме цифр, разрешается пользоваться также знаками действий.)
Очень легко число 24 выразить тремя восьмерками:
8 + 8 + 8. Не можете ли вы сделать то же, пользуясь не восьмерками, а другими тремя одинаковыми цифрами? Задача имеет не одно решение.
Число тридцать легко выразить тремя пятерками: 5 x 5 + 5. Труднее сделать это тремя другими одинаковыми цифрами. Попробуйте. Может быть, вам удастся отыскать несколько решений?
В этом примере умножения больше половины цифр заменено звездочками:
Можете ли вы восстановить недостающие цифры?
Вот еще задача такого же рода. Требуется установить, какие числа перемножаются в примере:
Восстановите недостающие цифры в примере деления:
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11.
Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.
Рассмотрите такой случай умножения двух чисел:
48 х 159 = 7632.
Он замечателен тем, что в нем участвуют по одному разу все девять значащих цифр.
Можете ли вы подобрать еще несколько таких примеров? Сколько их, если они вообще существуют?
В кружках этого треугольника (рис. 43) расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20.
Все значащие цифры разместить в кружках того же треугольника (рис. 43) так, чтобы сумма их на каждой стороне равнялась 17.
Рис. 43
Шестиконечная числовая звезда, изображенная на рис.
44, обладает «магическим» свойством: все шесть рядов чисел имеют одну и ту же сумму
4 + 6 + 7 + 9 = 26 11+ 6+ 8 + 1=26
4 + 8 + 12 + 2 = 26 11+ 7+ 5 + 3 = 26
9 + 5 + 10 + 2 = 26 1 + 12 + 10 + 3 = 26
Но сумма чисел, расположенных на вершинах звезды, другая:
4 +11 + 9 + 3 + 2 + 1 = 30.
Не удастся ли вам усовершенствовать эту звезду, расставив числа в кружках так, чтобы не только прямые ряды давали одинаковые суммы (26), но чтобы ту же сумму (26) составляли числа на вершинах звезды?
Рис. 44
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 42-53
42. Все три задачи неразрешимы; и счетчик, и я могли безбоязненно обещать за их решения любую премию. Чтобы в этом удостовериться, обратимся к языку алгебры и рассмотрим задачи одну за другой.
Задача первая: уплата 5-ти рублей. Предположим, что уплата возможна и что для этого понадобилось х полтинников, у двугривенных и z пятаков. Имеем уравнение:
50x + 20у + 5z = 500.
Сократив на 5, получаем:
10х + 4у + z = 100.
Кроме того, так как общее число монет по условию равно 20, то х, у и z связаны еще и другим уравнением:
х + у + z = 20.
Вычтя это уравнение из первого, получаем:
9х + 3 у = 80.
Разделив на 3, приводим уравнение к виду:
Но Зх, тройное число полтинников, есть, конечно, число целое. Число двугривенных, у, также целое. Сумма же двух целых чисел не может оказаться числом дробным (262/3). Наше предположение о разрешимости этой задачи приводит, как видите, к нелепости. Значит, задача неразрешима.
Подобным же образом читатель убедится в неразрешимости двух других, «удешевленных» задач: с уплатою 3 и 2 рублей. Первая приводит к уравнению:
Вторая - к уравнению:
То и другое в целых числах неразрешимо.
Как видите, ни счетчик, ни я нисколько не рисковали, предлагая крупные суммы за решение этих задач: выдать премий никогда не придется.
Другое дело было бы, если бы требовалось уплатить двадцатью монетами названного достоинства не 5, не 3 и не 2 руб., а, например, 4 руб.: тогда задача легко решалась бы и даже семью различными способами[6].
43. 888 + 88 + 8 + 8 + 8 = 1000.
44. Вот два решения:
22 + 2 = 24; З 3 - 3 = 24.
45. Приводим три решения:
6 х 6 - 6 = 30; З3 + 3 = 30; 33 - 3 = 30.
46. Недостающие цифры восстанавливаются постепенно, если применить следующий ход рассуждений.
Для удобства пронумеруем строки:
Легко сообразить, что последняя звездочка в III строке цифр есть 0: это ясно из того, что 0 стоит в конце VI строки.
Теперь определяется значение последней звездочки I строки: это цифра, которая от умножения на 2 дает число, оканчивающееся нулем, а от умножения на 3 - число, оканчивающееся пятью (V ряд). Цифра такая только одна - 5.
Нетрудно догадаться, что скрывается под звездочкой II строки: 8, потому что только при умножении на 8 цифра 5 дает результат, оканчивающийся 20 (IV строка).
Наконец, становится ясным значение первой звездочки строки I: это цифра 4, потому что только 4, умноженное на 8, дает результат, начинающийся на 3 (строка IV). Узнать остальные неизвестные цифры теперь не составляет никакой трудности: достаточно перемножить числа первых двух строк, уже вполне определившиеся.
В конечном итоге получаем такой пример умножения:
47- Подобным сейчас примененному ходом рассуждений раскрываем значение звездочек и в этом случае. Получаем:
48. Вот искомый случай деления:
49. Чтобы решить эту задачу, надо знать признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммою цифр, стоящих на четных местах, и суммою цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11 или равна нулю.
Испытаем, для примера, число 23 658 904.
Сумма цифр, стоящих на четных местах:
3 + 5 + 9 + 4 = 21,
сумма цифр, стоящих на нечетных местах:
2 + 6 + 8 + 0 = 16.
Разность их (надо вычитать из большего меньшее) равна:
21 - 16 = 5.
Эта разность (5) не делится на 11, значит, и взятое число не делится без остатка на 11.
Испытаем другое число - 7 344 535:
3 + 4 + 3 = 10,
7 + 4 + 5 + 5 = 21,
21 - 10 = И.
Так как 11 делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.
Теперь легко сообразить, в каком порядке надо писать девять цифр, чтобы получилось число, кратное 11 и удовлетворяющее требованиям задачи.
Вот пример:
352 049 786.
Испытаем:
3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22,
5 + 0 + 9 + 8 = 22.
Разность 22-22 = 0; значит, написанное нами число кратно 11.
Наибольшее из всех таких чисел есть:
987 652 413.
Наименьшее:
102 347 586.
Пользуюсь случаем познакомить читателей с другим признаком делимости на 11, хотя и не пригодным для решения нашей задачи, зато весьма удобным для практических надобностей. Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и грани эти складывают как двузначные числа. Если полученная сумма делится на 11, то и испытуемое число кратно 11.
Поясним сказанное тремя примерами.
1) Число 154. Разбиваем на грани: 1-54. Складываем:
I + 54 = 55. Так как 55 кратно 11, то и 154 кратно 11: