Число 1000 (второй ряд) заменится в двоичной системе числом 8.
Остальные числа нужно будет заменить следующими:
128 + 32 + 2=162
16
64 + 4 = 68
128 + 8=136
32 + 2 = 34
16 + 1 = 17
Запомнить же числа 82, 8, 162, 16, 68, 136, 34, 17 не так уж трудно. А зная их, всегда можно получить ту первоначальную группу чисел, из которой они получены и которые прямо указывают расположение окошек в решетке. Как это делается, покажем на примере первого числа - 82. Разделим его на два, чтобы узнать, сколько в нем двоек; получим 41; остатка нет, значит, на последнем месте, в разряде простых единиц, должен быть 0. Полученное число двоек, 41, делим на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе четверок:
41: 2 = 20, остаток 1.
Это значит, что в разряде двоек, т. е. на предпоследнем месте, имеется цифра 1.
Далее, делим 20 на 2, чтобы узнать, сколько в нашем числе восьмерок:
20: 2 = 10.
Остатка нет, значит, на месте четверок стоит 0.
Делим 10 на 2; получаем 5 без остатка: на месте восьмерок - 0.
От деления 5: 2 получаем 2 и в остатке 1: в разряде, где 16, - цифра 1. Наконец, делим 2 на 2 и узнаём, что в числе - одна 64-ка: в этом разряде должна быть цифра 1, а в разряде, где 32, - цифра 0.
Итак, все цифры искомого числа определились:
1010010.
Так как здесь всего 7 цифр, а в каждом ряду решетки 8 клеток, то ясно, что один нуль впереди был опущен, и расположение окошек в первом ряду определяется цифрами:
01010010,
т. е. окошки имеются на 2, 4 и 7-м местах.
Так же восстанавливается расположение окошек и в прочих рядах.
Существует, как было сказано, множество разных систем тайнописи. Мы остановились на решетке потому, что она близко соприкасается с математикой и лишний раз доказывает, как разнообразны те стороны жизни, куда заглядывает эта наука.
(О двоичной и других недесятичных системах счисления подробнее рассказано в книге того же автора «Занимательная арифметика».)
Глава седьмая РАССКАЗЫ О ЧИСЛАХ-ВЕЛИКАНАХ
Когда и где происходила эта история - неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы ее послушать.
Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
«Бывают же такие удачи, - рассказывал он домашним. - Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя невидный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как проведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
Рис. 57. «Всего только одну копейку…»
- Сделаем, - говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустячная. В первый день я должен по уговору заплатить - смешно вымолвить - всего только одну копейку. Я ушам не верил.
- Одну копейку? - переспрашиваю.
- Одну копейку, - говорит. - За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
- Ну, - не терпится мне. - А дальше?
- А дальше - за третью сотню тысяч - 4 копейки, за четвертую - 8, за пятую - 16. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.
- И потом что? - спрашиваю.
- Все, - говорит, - больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Сотни тысяч рублей за копейки отдает! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.
- Ладно, - говорю. - Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
- Будь покоен, - говорит, - завтра с утра жди.
Одного только боюсь: придет ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра недолго ждать».
Прошел день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.
- Деньги готовь, - говорит. - Я свои принес.
Рис. 58. Постучал в окошко незнакомец…
И действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги - настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:
- Вот мое по уговору. Твой черед платить.
Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмет гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует.
Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал.
- Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, - сказал он и ушел.
Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: все правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты.
Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей?
Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог.
Наутро снова стук в окно: незнакомец деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету и ушел, бросив на прощание:
- К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь. Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось…
Явился незнакомец и на третий день - третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки.
Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч - за 8 копеек.
Пришла и пятая сотня тысяч - за 16 копеек.
Потом шестая - за 32 копейки.
Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки:
1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + + 64 коп. = 1 руб. 27 коп.
Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трех миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок еще хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдает…
А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч. На 8-й день получил он 1 руб. 28 коп., на девятый - 2 руб. 56 коп., на 10-й - 5 руб. 12 коп., на 11-й - 10 руб. 24 коп., на 12-й - 20 руб. 48 коп., на 13-й - 40 руб. 96 коп., на 14-й - 81 руб. 92 коп.
Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже 1 миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.
Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не простак и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:
Впрочем, он считал себя далеко не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1 миллион 800 тысяч.
Прибыль, однако, с каждым днем уменьшалась, притом все быстрее и быстрее.
Вот дальнейшие платежи:
Рис. 59. Незнакомец перехитрил его…
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договор.
Дальше пошло еще хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит…
Начиная с 28-го дня богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:
Когда гость ушел в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешевые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу
10 737 418 руб. 23 коп.
Без малого 11 миллионов!… А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и все-таки не прогадал бы.
Прежде чем кончить с этой историей, покажу, каким способом можно ускорить подсчет убытков нашего миллионера; другими словами, как скорее всего выполнить сложение ряда чисел:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 и т. д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
1 = 1
2 = 1 + 1
4 = (1 + 2) + 1
8 = (1 + 2 + 4) + 1
16 = (1 + 2 + 4 + 8) + 1
32 = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1
и т. д.
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32 768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32 768) сумму всех предыдущих, иначе сказать, прибавляем то же последнее число без единицы (32 768-1). Получаем 65 535.
Этим способом можно подсчитать убытки нашего миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз.
Его последний платеж был 5 368 709 руб. 12 коп. Поэтому, сложив 5 368 709 руб. 12 коп. и 5 368 709 руб. 11 коп., получаем сразу искомый результат: 10737418 руб. 23 коп.
Удивительно, как быстро разбегаются по городу слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого-нибудь происшествия, которое видело всего несколько человек, а новость облетела уже весь город: все о ней знают, все слыхали.
Необычайная быстрота эта кажется поразительной, прямо загадочной.
Однако если подойти к делу с подсчетом, то станет ясно, что ничего чудесного здесь нет: все объясняется свойствами чисел, а не таинственными особенностями самих слухов.
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.