чеканки: 5-копеечной и 2-копеечной. На листке бумаги сделайте кружок, в точности равный окружности 2-копеечной монеты, и аккуратно вырежьте его.
Рис. 103. Существует ли одна затычка к трем отверстиям такой формы?
Рис. 104. Можно ли для этих трех отверстий изготовить одну затычку?
Как вы думаете: пролезет пятак через эту дырку? Здесь нет подвоха - задача подлинно геометрическая.
В нашем городе есть достопримечательность - высокая башня, высоты которой вы, однако, не знаете. Имеется у вас и фотографический снимок башни на почтовой карточке. Как может этот снимок помочь вам узнать высоту башни?
Эта задача предназначается для тех, кто знает, в чем состоит геометрическое подобие. Требуется ответить на следующие два вопроса:
1) В фигуре чертежного треугольника (рис. 105) подобны ли наружный и внутренний треугольники?
2) В фигуре рамки (рис. 106) подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?
Рис. 105. Подобны ли наружный и внутренний треугольники?
Рис. 106. Подобны ли наружный и внутренний четырехугольники?
Как далеко в солнечный день тянется в пространстве полная тень, отбрасываемая телеграфной проволокой, диаметр которой 4 мм?
Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?
Во сколько примерно раз великан ростом 2 м тяжелее карлика ростом 1 м?
Продаются два арбуза неодинаковых размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в 1 1/4 раза дороже.
Какой из них выгоднее купить (рис. 107)?
Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая - 50 см. Первая в полтора раза дороже второй.
Какую дыню выгоднее купить?
Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня, и косточка имеют форму шариков.
Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?
Рис. 107
Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8 000 000 кг.
Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, весящую всего только 1 кг. Какой она будет высоты? Выше стакана или ниже?
Имеются две медные кастрюли одинаковой формы и со стенками одной толщины. Первая в 8 раз вместительнее второй.
Во сколько раз она тяжелее?
Рис. 108. Башня Эйфеля в Париже
На морозе стоят взрослый человек и ребенок, оба одетые одинаково.
Кому из них холоднее?
Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?
РЕШЕНИЯ ГОЛОВОЛОМОК 64 - 87
64. На первый взгляд задача эта кажется не относящейся вовсе к геометрии. Но в том-то и состоит овладение этой наукой, чтобы уметь обнаруживать геометрическую основу задачи там, где она замаскирована посторонними подробностями. Наша задача по существу, безусловно, геометрическая; без знания геометрии ее не решить.
Итак, почему же передняя ось телеги стирается больше задней? Всем известно, что передние колеса меньше задних. На одном и том же расстоянии малый круг оборачивается большее число раз, чем круг покрупнее: у меньшего круга и окружность меньше - оттого она укладывается в данной длине большее число раз. Теперь понятно, что при всех поездках телеги передние ее колеса делают больше оборотов, нежели задние; а большее число оборотов, конечно, сильнее стирает ось.
65. Если вы полагаете, что в лупу угол наш окажется величиною в 1 1/4 х 4 = 6°, то дали промах. Величина угла нисколько не увеличивается при рассматривании его в лупу.
Рис. 109. Передние колеса телеги меньше задних
Правда, дуга, измеряющая угол, несомненно, увеличивается, но во столько же раз увеличивается и радиус этой дуги, так что величина центрального угла остается без изменения. Рис. 109 поясняет сказанное. Невозможность увеличения углов лупой вытекает, между прочим, и прямо из того, что фигуры при рассматривании в лупу сохраняют геометрическое подобие самим себе. Если бы каждый угол многоугольника увеличивался в 4 раза, то мы видели бы в лупу квадраты с углами в 360° или треугольники, сумма углов которых равна 8 прямым!
Рис. 110
66. Рассмотрите рис. 110, где MAN есть первоначальное положение дуги уровня, M’BN’- новое ее положение, причем хорда JVPN' составляет с хордой MN угол в 1/2°. Пузырек, бывший раньше в точке А, теперь остался в той же точке, но середина дуги MN переместилась в В. Требуется вычислить длину дуги АВ, если радиус ее равен 1 м, а величина дуги в градусной мере 1/2° (это следует из равенства острых углов с перпендикулярными сторонами). Вычисление несложно. Длина полной окружности радиусом в 1 м (1000 мм) равна 2 х 3,14 х 1000 = 6280 мм. Так как в окружности 360°, или 720 полуградусов, то длина одного полуградуса определяется делением:
6280: 720 = 8,7 мм.
Пузырек отодвинется от метки (вернее, метка отодвинется от пузырька) примерно на 9 адм - почти на целый сантиметр. Легко видеть, что чем больше радиус кривизны трубки, тем уровень чувствительнее.
67. Задача вовсе не шуточная и вскрывает ошибочность обычного словоупотребления. У «шестигранного» карандаша не 6 граней, как, вероятно, полагает большинство. Всех граней у него, если он не очинен, 8: шесть боковых и еще две маленькие «торцовые» грани. Будь у него в действительности 6 граней, он имел бы совсем иную форму - бруска с четырех-угольным сечением. Привычка считать у призм только боковые грани, забывая об основаниях, очень распространена. Многие говорят: «трехгранная» призма, «четырехгранная» призма и т. д., между тем как призмы эти надо называть: треугольная, четырехугольная и т. д. - по форме основания. Трехгранной призмы, т. е. призмы о трех гранях, даже и не существует.
Поэтому карандаш, о котором говорится в задаче, правильно называть не шестигранным, а шестиугольным.
68. Сделать надо так, как показано на рис. 111. Получаются 6 частей, которые для наглядности перенумерованы.
69. Спички следует расположить, как показано слева на рис. 112; площадь этой фигуры равна учетверенной площади «спичечного» квадрата.
Как в этом удостовериться?
Дополним мысленно нашу фигуру до треугольника. Получится прямоугольный треугольник, основание которого равно 3, а высота 4 спичкам[25]. Площадь его равна половине произведения основания на высоту:
т. е. 6 квадратам со стороною в одну спичку. Но наша фигура имеет, очевидно, площадь, которая меньше площади треугольника на 2 «спичечных» квадрата и равна, следовательно, 4 таким квадратам.
Рис. 111
Рис. 112
Рис. 113
70. Можно доказать[26], что среди всех фигур с одинаковым обводом наибольшую площадь имеет круг. Из спичек, конечно, не сложить круга; однако можно составить из 8 спичек фигуру (рис. 113), всего более приближающуюся к кругу - это правильный восьмиугольник. Правильный восьмиугольник и есть фигура, удовлетворяющая требованию нашей задачи: она имеет наибольшую площадь. Эта задача приводит на память легендарную историю основателя Карфагена. Дидона, дочь финикийского царя, гласит предание, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими финикийцами на северном ее берегу. Здесь Дидона купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и благодаря подобной уловке отхватила участок земли, достаточный для сооружения крепости. Так будто бы возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии вырос город.
Прикинем, какая примерно площадь могла быть захвачена хитростью Дидоны. Если поверхность воловьей шкуры была равна 4 кв. м, т. е. 4 000 000 кв. мм, а ширина ремней 1 мм, то общая длина вырезанных ремней достигала 4 000 000 мм, или 4 км. Ремнем такой длины можно охватить квадратный участок площадью в 1 кв. км. Но Дидона получила бы еще больше земли, если бы окружила ремнем круглый участок (около 1,3 кв. км).
71. Для решения задачи развернем боковую поверхность цилиндрической банки в плоскую фигуру: получим прямоугольник (рис. 114), высота которого 20 см, а основание равно окружности банки, т. е. 10 х 31/ 7 = 311/2 см (без малого). Наметим на этом прямоугольнике положения мухи и медовой капли. Муха - в точке А, на расстоянии 17 см от основания; капля - в точке В, на той же высоте и на расстоянии полуокружности банки от А, т. е. в 15 3/4 см. Чтобы найти теперь точку, в которой муха должна переползти край банки, поступим следующим образом. Из точки В(рис. 115) проведем прямую под прямым углом к верхней стороне прямоугольника и продолжим ее на равное расстояние: получим точку С. Эту точку соединим прямой линией с А. Точка D, как учит геометрия, и будет та, где муха должна переползти на другую сторону банки, а путь ADB окажется самым коротким.
Рис. 114
Рис. 115
Найдя кратчайший путь на развернутом прямоугольнике, свернем его снова в цилиндр и узнаем, как должна бежать муха, чтобы скорее добраться до капли меда