Зная это, предположим, что в коробке были одни только жуки, числом 8 штук. Тогда всех ног было бы 6 x 8 = 48, на 6 меньше, чем указано в задаче. Заменим теперь одного жука пауком. От этого число ног увеличится на 2, потому что у паука не 6 ног, а 8.
Ясно, что если мы сделаем три таких замены, мы доведем общее число ног в коробке до требуемых 54. Но тогда из
8 жуков останется только 5, остальные будут пауки. Итак, в коробке было 5 жуков и 3 паука.
Проверим: у 5 жуков 30 ног, у 3 пауков 24 ноги, а всего 30 + 24 = 54, как и требует условие задачи.
Можно решить задачу и иначе. А именно: можно предположить, что в коробке были только пауки, 8 штук. Тогда всех ног оказалось бы 8 х 8 = 64, - на 10 больше, чем указано в условии. Заменив одного паука жуком, мы уменьшим число ног на 2. Нужно сделать 5 таких замен, чтобы свести число ног к требуемым 54. Иначе говоря, из 8 пауков надо оставить только 3, а остальных заменить жуками.
90. Если бы вместо плаща, шляпы и галош куплено было только две пары галош, то пришлось бы заплатить не 140 руб., а на столько меньше, на сколько галоши дешевле плаща со шляпой, т. е. - на 120 руб. Мы узнаем, следовательно, что две пары галош стоят 140-120 = 20 руб., отсюда стоимость одной пары - 10 руб.
Теперь стало известно, что плащ и шляпа вместе стоят 140 - 10 = 130 руб., причем плащ дороже шляпы на 90 руб. Рассуждаем, как прежде: вместо плаща со шляпой купим две шляпы. Мы заплатим не 130 руб., а меньше на 90 руб. Значит, две шляпы стоят 130 - 90 = 40 руб., откуда стоимость одной шляпы - 20 руб.
Итак, вот стоимость вещей: галоши - 10 руб., шляпа - 20 руб., плащ - 110 руб.
91. Продавец имел в виду корзину с 29 яйцами. Куриные яйца были в корзинах с обозначениями 23, 12 и 5; утиные - в корзинах с числами 14 и 6.
Проверим. Всего куриных яиц оставалось:
23 + 12 + 5 = 40.
Утиных
14 + 6 = 20.
Куриных - вдвое больше, чем утиных, как и требует условие задачи.
92. В этой задаче нечего объяснять: самолет совершает перелет в обоих направлениях в одинаковое время, потому что 80 мин = 1 ч 20 мин.
Задача рассчитана на невнимательного читателя, который может подумать, что между 1 ч 20 мин и 80 мин есть разница. Как ни странно, но людей, попадающихся на этот крючок, оказывается немало, притом среди привыкших делать расчеты их больше, чем среди малоопытных вычислителей.
Причина кроется в привычке к десятичной системе мер и денежных единиц. Видя обозначение «1 ч 20 мин» и рядом с ним - «80 мин», мы невольно оцениваем различие между ними как разницу между 1 руб. 20 коп. и 80 коп. На эту психологическую ошибку и рассчитана задача.
93. Разгадка недоумения в том, что один из отцов приходился другому сыном. Всех было не четверо, а трое: дед, сын и внук. Дед дал сыну 150 руб., а тот передал из них 100 руб. внуку (т. е. своему сыну), увеличив собственные капиталы, следовательно, всего на 50 руб.
94. Первую шашку можно поместить на любое из 64 полей доски, т. е. 64 способами. После того как первая поставлена, вторую шашку можно поместить на какое-либо из прочих 63 полей. Значит, к каждому из 64 положений первой шашки можно присоединить 63 положения второй шашки. Отсюда общее число различных положений двух шашек на доске
64 х 63 = 4032.
95. Наименьшее целое число, какое можно написать двумя цифрами, не 10, как думают, вероятно, иные читатели, а единица, выраженная таким образом:
Знакомые с алгеброй прибавят к этим выражениям еще ряд других обозначений:
1°, 2°, 3°, 4° и т. д. до 9°,
потому что всякое число в нулевой степени равно единице[36].
96. Надо представить единицу как сумму двух дробей:
Знающие алгебру могут дать еще и другие ответы:
123456789°; 2345679-8-1 и т. п.,
так как число в нулевой степени равно единице.
97. Два способа таковы:
Кто знает алгебру, тот может прибавить еще несколько решений, например:
99. Число 100 можно выразить пятью одинаковыми цифрами, употребив в дело единицы, тройки и - всего проще - пятерки:
100. На вопрос задачи часто отвечают: 1111. Однако можно написать число во много раз большее - именно 11 в одиннадцатой степени: 1111.
Если у вас есть терпение довести вычисление до конца (с помощью логарифмов можно выполнять такие расчеты гораздо скорее), вы убедитесь, что число это больше 280 миллиардов. Следовательно, оно превышает число 1111 в 250 миллионов раз.
101. Заданный пример деления может соответствовать четырем различным случаям, а именно:
1 337 174: 943 = 1418,
1 343 784: 949 = 1416,
1 200 474:846 = 1419,
1 202 464:848 = 1418.
102. Этот пример отвечает только одному[37] случаю деления:
7 375 428 413:125 473 = 58 781.
Обе последние, весьма нелегкие задачи были впервые опубликованы в американских изданиях: «Математическая газета», 1920 г. и «Школьный мир», 1906 г.
103. В квадратном метре тысяча тысяч квадратных миллиметров. Каждая тысяча приложенных друг к другу миллиметровых квадратиков составляет 1 м; тысяча тысяч их составляет 1000 м, т. е. 1 км: полоска вытянется на целый километр.
104. Ответ поражает неожиданностью: столб возвышался бы на… 1000 км.
Сделаем устный расчет.
В кубометре содержится кубических миллиметров тысяча х тысячу х тысячу. Каждая тысяча миллиметровых кубиков, поставленных один на другой, дадут столб в 1000 м = 1 км. А так как у нас кубиков еще в тысячу раз больше, то и составится 1000 км.
105. Из рис. 136 видно, что (вследствие равенства углов 1 и 2) линейные размеры предмета так относятся к соответствующим размерам изображения, как расстояние предмета от объекта относится к глубине камеры. В нашем случае, обозначив высоту аэроплана над землей в метрах через х, имеем пропорцию:
12000: 8 = х: 0,12,
откуда х = 180 м.
Рис. 136. Расчет высоты аэроплана
Рис. 137
Рис. 138
Рис. 139
106. Расчеты подобного рода выполняются в уме так. Надо умножить 89,4 г на миллион, т. е. на тысячу тысяч. Умножаем в два приема:
89,4 х 1000 = 89,4 кг,
потому что килограмм в тысячу раз больше грамма. Далее:
89,4 кг х 1000 = 89,4 т,
потому что тонна в тысячу раз больше килограмма. Итак, искомый вес - 89,4 т.
107. Всех путей по просекам от А до В можно насчитать 70. (Систематическое решение этой задачи возможно с помощью так называемого Паскалева треугольника, рассматриваемого в курсах алгебры.)
108. Так как сумма всех чисел, обозначенная на циферблате, равна 78, то числа каждого из шести участков должны составлять вместе 78: 6, т. е. 13. Это облегчает отыскание решения, которое показано на рис. 137.
109-110. Решения показаны на прилагаемых рис. 138 и 139.
Рис. 140
111. Трехногий стол всегда может касаться пола концами своих трех ножек, потому что через каждые три точки пространства может проходить плоскость, и притом только одна. В этом причина того, что трехногий стол не качается; как видите, она чисто геометрическая, а не физическая. Вот почему так удобно пользоваться треногами для землемерных инструментов и фотографических аппаратов. Четвертая нога не сделала бы подставку устойчивее; напротив, пришлось бы тогда всякий раз заботиться о том, чтобы подставка не качалась.
112. На вопрос задачи легко ответить, если сообразить, какое время показывают стрелки. Стрелки на левых часах (рис. 140) показывают, очевидно, 7 час. Значит, между концами этих стрелок заключена дуга в 5/12 полной окружности.
В градусной мере это составляет
Стрелки на правых часах показывают, как нетрудно сообразить, 9 ч 30 мин. Дуга между их концами содержит 3 % двенадцатых доли полной окружности, или 7/24.
В градусной мере это составляет
113. Принимая рост человека в 175 см и обозначив радиус Земли через R, имеем:
2 х 3,14 х (R + 175) - 2 х 3,14 х R = 2 х 3,14 х 175 = 1099 см,
т. е. около 11 м.
Рис. 141
Поразительно здесь то, что результат совершенно не зависит от радиуса шара и, следовательно, одинаков на исполинском Солнце и маленьком шарике.
114. Требование задачи легко удовлетворить, если расставить людей в форме шестиугольника, как показано на рис. 141.
115. На рис. 142 указаны следы сабельных ударов, а на рис. 143 видно, как надо расположить образовавшиеся 4 куска, чтобы составить второй, более характерный символ фашистской диктатуры: квадрат концентрационного лагеря.
Рис. 142
Рис. 143
Рис. 144
Рис. 145
Рис. 146
116. Читатели, слыхавшие о неразрешимости задачи квадратуры круга, сочтут, вероятно, и предлагаемую задачу неразрешимой строго геометрически. Раз нельзя превратить в равновеликий квадрат полный круг, то, думают многие, нельзя превратить в прямоугольную фигуру и луночку, составленную двумя дугами окружности. Между тем задача, безусловно, может быть решена геометрическим построением, если воспользоваться одним любопытным следствием общеизвестной Пифагоровой теоремы.
Следствие, которое я имею в виду, гласит, что сумма площадей полукругов, построенных на катетах, равна полукругу, построенному на гипотенузе (рис. 144). Перекинув большой полукруг на другую сторону (рис. 145). видим, что обе заштрихованные луночки вместе равновелики треугольнику[38].
Если треугольник взять равнобедренный, то каждая луночка в отдельности будет равновелика половине этого треугольника (рис. 146).
Рис. 147
Рис. 148. Превращение квадрата в крест
Отсюда следует, что можно геометрически точно построить равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна площади серпа. А так как равнобедренный прямоугольный треугольник легко превращается в равновеликий квадрат