§ 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника
Предварительные упражнения
1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны?
Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?
2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.
До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:
с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.
Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.
Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то
a/b = g/a и c/b = p/c
Следовательно:
a2= bq
c2= bp
Отсюда имеем:
a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2
Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.
Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).
Применения
84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?
Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:
52+ 122= 132= 169.
Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.
85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:
Р е ш е н и е.
86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?
Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,
Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.
87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.
Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна
Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.
88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?
89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).
Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.
Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.
Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.
§ 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике
1) Устанавливая в предыдущем параграфе зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, мы попутно вывели, что (черт. 206)
a2= bq,
c2= bp.
Выражая это соотношение словесно, мы скажем, что
к в а д р а т к а ж д о г о к а т е т а р а в е н п р о и з в е д е н и ю и з г и п о т е н у з ы и п р о е к ц и и э т о г о к а т е т а н а г и п о т е н у з у.
2) Кроме того, из подобия треугольников I и II следует, что
р : h= h: q, где h – высота,
т. е. h (высота) есть повторяющийся член непрерывной пропорции, другие члены которой есть р и q. Повторяющийся член непрерывной кратной пропорции принято называть средне-пропорциональным (или средне-геометрическим) между двумя остальными членами. Поэтому сейчас установленную зависимость можно высказать так:
в ы с о т а, п р о в е д е н н а я к г и п о т е н у з е, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и о н а л ь н а я м е ж д у о т р е з к а м и г и п о т е н у з ы. Далее, из пропорции р : h = h: q следует, что h2= pq, т. е.
к в а д р а т в ы с о т ы, п р о в е д е н н о й к г и п о т е н у з е, р а в е н п р о и з в е д е н и ю о т р е з к о в г и п о т е н у з ы.
§ 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд
Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому
AD: DC = DC: DB,
или (DC)2= AD: DB;
другими словами:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й и з к а к о й – н и б у д ь т о ч к и о к р у ж н о с т и к д и а м е т р у, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и он а л ь н о е м е ж д у о т р е з к а м и д и а м е т р а. Этим свойством можно пользоваться, между прочим, в тех случаях, когда требуется построить к двум данным отрезкам средне-пропорциональный. Если данные отрезки а и l и требуется найти отрезок х такой длины, чтобы
а : х = х : l,
то откладывают рядом а и l (черт. 209), строят на АС, как на диаметре, полуокружность и из точки В восставляют перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D: отрезок BD = x.
Повторительные вопросы к §§ 71–73
Какое вы знаете соотношение между катетами и гипотенузой? – Между гипотенузой, катетом и его проекцией на гипотенузу? – Между высотой, проведенной к гипотенузе, и отрезком гипотенузы? – Между перпендикуляром, проведенным из точки окружности к диаметру и отрезками диаметра? – Что значит: найти? средне-пропорциональное между двумя отрезками? Как это сделать?
Применения
91. Чтобы определить расстояние от точки В (черт. 210) до недоступной точки Aпровешивают прямую BN под прямым углом к направлению АВ и из произвольной точки С этой прямой провешивают CD перпендикулярно к направлению AC? Как, пользуясь этим построением, определить искомое расстояние АВ?
Р е ш е н и е. Надо измерить расстояния ВС и ВD. Расстояние АВ оп-редется из равенства:
(BC)2= AB?BD,
откуда
AB = (BC)2/BD
92. Начертить квадрат, равновеликий данному треугольнику с основанием а высотою h.
Р е ш е н и е. Задача сводится к отысканию стороны квадрата такой длины х, чтобы x2= ?ah, т. е., чтобы a/2: х = х : h.
Отсюда видно, что искомый отрезок средне-пропорциональное между a/2 и h.
93. Найти стрелку h дуги (черт. 211) радиуса R, если длина стягивающей хорды = a.
Р е ш е н и е. Стрелкой дуги называется прилегающий к ней отрезок радиуса, перпендикулярного к стягивающей ее хорде, между хордой и дугой.
Половину хорды a/2 можно рассматривать, как перпендикуляр, проведенный из точки окружности к диаметру. Поэтому
(a/2)2h?[2R-h], или: h2-2Rh + a2/4 = 0
Искомую величину стрелки h можно вычислить из этого квадратного уравнения. Если стрелка, как часто бывает, весьма мала по сравнению с радиусом круга, то членом h2можно пренебречь, и тогда h приближенно равно a2/8R. По этой формуле вычисляют, например, стрелку дуги железнодорожного закругления, радиус которого достигает 1000 метров и больше, стрелка же не превышает нескольких, метров.
Сходным образом решается и обратная задача: вычисление радиуса закругления по длине хорды и стрелки, как видно из следующего примера.
94. Вычислить радиус кривизны часового стекла, поперечник которого 60 мм, а стрелка дуги – 3 мм.
Р е ш е н и е. Подставив значения aи hв уравнение, выведенное в предыдущем примере:
h2-2Rh + a2/4 = 0
получаем
0,32-2R?0,3 + 9 = 0.
Отсюда R = около 6 см.
§ 74. Длина касательной
Пусть требуется определить длину касательной к (черт. 212), если радиус круга R, а кратчайшее расстояние от начала касательной до окружности – b. Проведя радиус к точке касания, имеем прямоугольный треугольник, в котором
[b+ R]2= R2+ k2.
Раскрыв скобки, получаем
b2+ 2bR+ R2= R2+ k2.
Отсюда
k2= b2+ 2bR = b [b + 2R2].
Это соотношение можно выразить словесно так:
к в а д р а т к а с а т е л ь н о й р а в е н п р о и з в е д е н и ю в с е й т е к у щ е й, п р о в е д е н н о й и з н а ч а л а к а с а т е л ь н о й ч е р е з ц е н т р, н а в н е ш н и й о т р е з о к э т о й с е к у щ е й.
Применения
95. Как далеко можно видеть в море с маяка высотою 30 метров?
Р е ш е н и е. Так как поверхность моря шарообразна, то дальность видимости определяется длиной касательной, проведенной из верхушки маяка к кругу, радиус которого равен радиусу земного шара (6400 км). Поэтому искомая даль-ность х определяется из равенства
x2= 30 [12 800 000 + 30].
(Слагаемым 30 в данном случае можно пренебречь). Получаем х = около 20 км.
96. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть за 200 километров?
Р е ш е н и е. В этом случае, в отличие от предыдущего, известна длина касательной, и ищется внешний отрезок секущей, проходящей через центр круга радиус которого 6400 км. Поэтому искомая высота у определяется из уравнения
2002= у [12 800 + y].
Слагаемое у, очевидно, весьма мало по сравнению с диаметром земного шара. Пренебрегая им, имеем
2002= 12 800 у,
Откуда
2002/12800 = 2,3 км.
Следовательно, искомая высота = 23 км.