§ 84. Конусность. Тангенс и котангенс острого угла
О круглых изделиях, суживающихся по прямой линии к одному концу, говорят, что они имеют «конусность». Конусность измеряется величиною уменьшения радиуса круга поперечного сечения на каждый сантиметр длины изделий. Если, например, радиус круга поперечного сечения изделия уменьшается с каждым сантиметром на 0,25 мм, то конусность изделия равна 0,25 мм на 1 см.
Легко рассчитать, что если длина изделия – 40 см, то от одного конца к другому оно суживается на 2 0,25 мм 40 = = 20 мм = 2 см. Наоборот, если круглое изделие в 50 см длины имеет на концах разность толщины (диаметров) 30 мм, то на каждый сантиметр длины разность диаметров составляет 30 мм: 50 = 0,6 мм, а разность радиусов – 0,3 мм; значит «конусность» этого изделия 0,3 мм на 1 см (или 0,3: 10 = 0,03).
Итак, конусность измеряется отношением катетов (черт. 227) ВС : АС в прямоугольном треугольнике АВС. Это отношение определяет наклон прямой АВ к LCи, следовательно, может служить мерою угла ВАС.
Мы видим из этого примера, что кроме уже известного нам градусного способа измерения острых углов, можно пользоваться еще и другим способом. Способ этот состоит в том, что за меру острого угла принимают отношение противолежащего ему катета к прилежащему катету в том треугольнике, который отсекается от этого угла перпендикуляром к одной из сторон. Например, угол А (черт. 228) можно измерять отношением ВС : АВ или равным ему отношением ED: AE (почему эти отношения равны?), или также равным им отношением MN: AN (почему это отношение равно предыдущим?). Каждое из этих равных отношений называется т а н г е н с о м угла A и обозначается через tang или tg.
Легко понять, что каждому острому углу отвечает определенный тангенс. Найти значение тангенса для каждого угла возможно помощью чертежа, измерив длину соответствующих линий и вычислив их отношение. Таким путем можно составить таблицу тангенсов для всех углов от 1° до 10°. Способ этот прост, но не достаточно точен. Существуют способы (чересчур сложные, чтобы их рассматривать здесь) узнавать тангенсы с любою точностью посредством вычислений. Готовая таблица вычисленных таким путем тангенсов для всех острых углов от 0°до 90° приложена в конце книги (вместе с некоторыми другими величинами, о которых речь будет дальше).
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина тангенса, то заметим следующее. Когда угол близок к 0°, то и тангенс близок к нулю; поэтому условно пишут, что tg0° = 0. С увеличением угла tgего быстро возрастает, а при 90° перпендикуляр к одной стороне угла вовсе не встречает другой: точка пересечения, как говорят, «удаляется в бесконечность». Поэтому считают, что tg90 ° = бесконечности.
Для некоторых углов можно вычислить тангенс весьма несложным расчетом. Например, тангенс угла в 45° равен (черт. 229) ВС : АВ = 1 (почему?). Тангенс угла в 30° (черт. 230) равен ВС: АВ; но в треугольнике АСВ
Вместо отношения противолежащего катета к прилежащему можно для измерения острых углов брать и обратное отношение прилежащего катета к противолежащему. Это отношение называется к о т а н г е н с о м угла и обозначается знаком cotg. Из черт. 228 имеем:
Вообще между тангенсом и котангенсом существует следующая зависимость:
Легко сообразить, что с увеличением угла тангенс его увеличивается, а котангенс – уменьшается.
Рассмотрим еще одну зависимость между величиною тангенса и котангенса острых углов. Из прямоугольного треугольника АВС (черт. 231) видим:
А так как сумма углов А и В равна 90° (эти углы, как принято говорить, «дополнительные»), то tg А= cotg (90 – A); cotg A = tg (90 – А).
Например:
tg30° = cotg60°; tg17° = cotg73° и т. п.
Выражая эту зависимость словесно, устанавливаем правило:
т а н г е н с о с т р о г о у г л а р а в е н к о т а н г е н с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а.
На этом основании таблицу тангенсов и таблицу котангенсов углов можно свести в одну таблицу, устройство которой мы сейчас объясним.
§ 85. Таблица тангенсов и котангенсов
Чтобы успешно применять на практике понятия тангенса и котангенса, необходимо уметь отыскивать в таблице тангенсы и котангенсы различных углов, а также и наоборот – подыскивать угол, если известен его тангенс или котангенс.
Пусть требуется найти в таблице tg24°. Против числа 24 левой колонки находим в графе «tg» (вверху) число 0,45; это и есть tg24° (на графы sin и cos пока не будем обращать внимания).
Так же просто отыскивать в таблице тангенсы всех углов от 1 с до 45°. Тангенсы углов от 45° до 89° находят несколько иначе. Например, tg57° ищем в графе «tg», направляясь снизу, и находим его против числа 57° правой колонки: 1,54 (в то же время 1,54 – это cotg33°, потому что 33 = 90° – 57°).
Сходным образом находим котангенсы и других углов, выражающихся целым числом градусов.
Чтобы найти tg угла, не выражающегося целым числом градусов, надо произвести маленькое дополнительное вычисление. Найдем, например, tg38°40’. Отыскиваем tg38° и tg39°.
tg38° = 0,78, tg39° = 0,81
Разница в 1° или 60’, обусловила, мы видим, увеличение тангенса на 0,03. Для небольшой разницы в углах можно считать. что разность тангенсов (и котангенсов) пропорциональна разности углов, т. е., что
Откуда:
tg38°40? – 0,78 = 0,03 ?2/3= 0,02
tg38°40? = 0,78 – 0,03 = 0,80.
Итак, мы отыскали tg нужного нам угла, хотя прямо в таблице он не помещен.
Таким же образом находим:
tg 76°24? = 4,01 + 0,32 ?24/60 = 4,14
cotg[11]21°14? = 2,61 – 0,13 ?14/60 = 2,58
Обратно: нахождение угла, которого tg или cotg известен в случае, когда данная величина tgили cotgимеется в таблице, – не требует пояснений. Например, угол, tg которого 0,27, есть 15°; угол, cotgкоторого 0,78, есть 52° и т. п. Если же данного tg или cotg в таблице нет, требуется дополнительное вычисление. Пусть, например, мы имеем угол, cotg которого =2, 19. Имеющийся в таблице cotg ближайшего меньшего[12] угла есть 2,25, отличающийся от данного на 0,06. Разность же между этим углом и ближайшим большим, имеющимся в таблице (2,14), равна 11. Подобно предыдущему, составляем пропорцию
И, следовательно, неизв. угол = 66°33’ (с округлением 66°30’).
Таким же образом найдем, что угол, тангенс которого 0,86, равен 40°+ 60 ?2/3= 40°40’ и т. п.
(В виду малой точности таблиц, числа минут надо округлять до целых десятков).
Применения
Рассмотрим теперь несколько задач, при решении которых применяется таблица тангенсов и котангенсов (такие вычисления называются т р и г о н о м е т р и ч е с к и м и).
104. Найти величину острых углов треугольника, катеты которого 16 см и 23 см.
Р е ш е н и е. Тангенс меньшего из искомых углов (черт. 231)
откуда (по таблице) искомый угол x = 34°20’.
105. Телеграфный столб 8 м высоты отбрасывает тень длиною 13,5 м. Под каким углом лучи солнца встречают землю?
Р е ш е н и е сводится, очевидно, к нахождению угла, tg которого = 8/13,5 =0,52
106. Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, имеет длину 62 см и делит противолежащую сторону на отрезки, длина которых 38 см и 29 см. Найти углы треугольника.
Р е ш е н и е. Сначала находим (черт. 232) величину угла A, tg которого 16/29; затем величину угла C, tg которого 16/38
(как найти третий угол?).
107. Острый угол прямоугольного треугольника 48°, прилежащий катет – 83 см. Найти другой катет.
Р е ш е н и е (черт. 231). Если угол А – 48°, а АВ – 83 см, то
BC/AB = BC/83 = tgA= tg48° = 1,11,
откуда
ВС = 83 ? 1,11 = 92.
108. Найти сторону правильного 12-угольника, описанного около круга, радиус которого 80 см.
Р е ш е н и е (черт. 233). Если сторона 12-угольникаАВ, то, соединив концы ее с центром О, получаем равнобедренный треугольник, угол при вершине которого 360°/12=30°.
Проведя OD перпендикулярно к AB, имеем прямоугольный треугольник AOD, в котором катет AD = ?АВ (почему?).
Далее:
AD/OD=AD/80 = tg15°=0,26
откуда:
AD= 0,26 80 = 21,
АВ = 2AD= 42.
Итак, искомая сторона 12-угольника 42 см.
§ 86. Синус и косинус острого угла
Рассмотрим задачу:
На плоскости AB(черт. 234), наклоненной под углом 35°, лежит тело весом 20 кг. С какою силою нужно тянуть тело вдоль плоскости AB, чтобы удержать его от скольжения вниз (трения в расчет не принимать)?
Р е ш е н и е. Очевидно, нужно тянуть с силою, не меньшею той, с какою тело увлекается своим весом. В механике установлено правило, что тело, лежащее на наклонной плоскости, увлекается вдоль нее с силою, составляющей такую долю веса тела, какую высота ВС наклонной плоскости составляет от ее длины AB. Это отношение зависит только от величины угла A, но не зависит от того, в какой точке наклонной плоскости (черт. 235) мы станем мерить ее высоту и длину: отношение ВС : AB= отношению DE: AD= отношению MN: AMи т. п. (почему?). Это отношение противолежащего катета к гипотенузе в треугольнике, отсекаемом от острого угла перпендикуляром к одной из его сторон, называется с и н у с о м этого угла и обозначается знаком sin:
SinA=BC/AB
Каждый угол имеет определенный синус, величина которого всегда может быть вычислена (по способу, излагаемому в подробных учебниках математики) или, менее точно, найдена из чертежа.
Если станем изменять величину угла от 0° до 90° и следить, как изменяется при этом величина синуса, то заметим следующее.
Когда угол близок к 0°, то и синус его близок к нулю: Sin 0° = 0. С увеличением угла sinего возрастает, но никогда не превышает 1-цы (почему?). При 90° величина его равна 1, потому что при этом катете сливается с гипотенузой; следовательно, sin 90° = 1.
Синус некоторых углов вычисляется очень просто. Например, синус 30° (черт. 230) равен
Вычисление sin 60° проделайте сами.
Отношение п р и л е ж а щ е г о к а т е т а к гипотенузе называется к о с и н у с о м угла А и обозначается cos. Напр. (черт. 229 и 230) cos 60° = BC: AC= 0,5; cos 45° = sin 45° = 0,71.
Между синусом и косинусом острого угла и его дополнительного существует та же зависимость, что и между tg и cot g: с и н у с о с т р о г о у г л а р а в е н к о с и н у с у д о п о л н и т е л ь н о г о у г л а (выведите это правило).
Поэтому таблицу синусов и косинусов можно свести в одну, как и сделано в таблице, напечатанной в конце книги.
§ 87. Таблица синусов и косинусов
Нахождение в таблице sin и cos данных углов, а также обратное нахождение углов, отвечающих данным синусу или косинусу, выполняется так же, как и в случае tg и cotg. Например, sin 12° = cos 78° = 0,21; sin 37°30 = 52°30 = = 0,61; cos 38°40 = sin 51°20 = 0,79; cos 14° = sin 76° = 0,24. Угол, sin которого 0,15, равен 8°30 , и т. п.
Возвращаясь к задаче о теле, скользящем по наклонной плоскости, находим sin 35° = 0,57; следовательно, для удержания груза необходима сила в 20 ? 0,57 = 11 кг.
Применения
109. Гипотенуза – 47 см, катет– 19 см. Найти величину противолежащего угла.
Р е ш е н и е. Синус искомого угла 19/47 = 0,42; отсюда угол = 25°.
110. Боковая сторона равнобедренного треугольника -
96 см; угол при вершине – 67°. Найти основание.
Р е ш е н и е. Синус половины угла при вершине, т. е. sin 33°30’ равен половине основания, деленной на длину боковой стороны; отсюда половина основания равна боковой стороне, умноженной на sin 33°30’ = 96 0,55 = 53.
111. Одна сторона треугольника 57 см, а другая – 81 см.
Угол между ними 47°. Найти длину перпендикуляра, проведенного к большей из данных сторон через противоположную вершину.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона АВ = 57, АС = 81, а угол А = 47°. Проведем ВD под прямым углом к АС, видим, что BD/AB= BD/57 = sin 47°
откуда BD = 57 ? 0,68 = 39 см.
Если бы данный угол был тупой, например в 125° (черт. 236), то длину ВD мы узнали бы из отношения
D/AB= BD/57 =Sin BAD = Sin [180° – 125°] = Sin 55° = 0,57, откуда BD= 32 см.
112. По данным предыдущей задачи вычислить длину третьей стороны (черт. 232).
Р е ш е н и е. Из треугольника АВD находим длину отрезка AD (как?); вычтя эту длину из АС, узнаем DС; вычислив кроме того, длину ВD, находим сторону ВС из треугольника ВDC по правилу Пифагора.
Произведите это вычисление. Рассмотрите случай, когда угол = 125°, как на черт. 236.
113. Одна сторона треугольника 95 см; два угла его 35° и 61°. Найти остальные стороны.
Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС (черт. 232) сторона ВС = 95 см, угол A= 61°, угол С = 35°. Проведя через В перпендикуляр BD, вычисляем его длину из треугольника BDC (как?), а зная BD находим из треугольника ABD длину АВ (как?). Для вычисления длины АС находим отрезки AD и ВС (как?) и складываем их.
Другой ответ получим, если примем, что сторона в 95 см лежит против угла в 35°.
114. Радиус круга 120 см. Найти длину хорды, «стягивающей» дугу в 48°. (О хорде говорят, что она «стягивает» ту дугу, которая расположена между ее концами).
Р е ш е н и е. Если (черт. 219) дуга АпВ = 48°, то центральный угол О = 48°. Нахождение длины АВ сводится к вычислению основания равнобедренного треугольника по боковой стороне [ОА] и углу при вершине; задача эта уже рассмотрена нами ранее (см. задачу 110).
115. Вычислить сторону правильного семиугольника, вписанного в круг радиуса 30 см.
Р е ш е н и е. Если АВ (черт. 219) есть сторона правильного вписанного семиугольника, то угол О =360°/7= 51°4?
Следовательно, задача сводится к предыдущей.
116. Одна сторона треугольника равна 24 см, другая – 31 см. Угол между ними – 68°. Найти площадь этого треугольника.
Р е ш е н и е. Проведем в треугольнике ABC высоту CD к стороне АВ, длина которой 24 см. Высота эта CD = AC sin A = 31 sin 68°. Следовательно, площадь ABC равна ??24?31 ?sin 68°
Нетрудно убедиться, что вообще, когда известный угол меньше прямого, то п л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а р а в н а п о л у п р о и з в е д е н и ю д в у х е г о с т о р о н н а с и н у с у г л а м е ж д у н и м и. Пользуясь только сообщенными здесь знаниями нельзя решить, все задачи, могущие возникнуть на практике. Подробное ознакомление с отраслью математики, которая называется тригонометрией, открывает гораздо более широкие возможности. Однако, и помощью тех начальных сведений из тригонометрии, которые изложены в этой главе, удается все же успешно разрешать многие практические задачи.
Повторительные вопросы
Что называется тангенсом? Котангенсам? Поясните ваш ответ чертежом. – Как они обозначаются? Укажите доступный вам приближенный способ определения тангенса и котангенса для любого острого угла. – Определите по этому способу tg и cotg нескольких углов и сравните ваши результаты с данными таблицы. – Как изменяется tg при изменении величины угла от 0° до 90°? – Чему равен cotg 0°? Чему равен tg 30°? tg 45°? tg 60°? Чему равны cotgэтих углов? Какая вообще зависимость между tg и cotg одного и того же угла? – Какие углы называются дополнительными? – Какая зависимость между tgострого угла и cotgдополнительного угла? Найдите по таблице tg 26°, tg 38°30’; tg 79°? cotg 83°? – Найдите угол, tgкоторого равен 0,08? 1,35? cotg которого = 2,3? 0,59? Приведите примеры задач, разрешаемых помощью tgили cotg.
Что называется синусом? h осину сом? Как они обозначаются? Определите с помощью чертежа sinи cosнескольких углов и проверьте ваш результат по таблице. Как изменяется sinи как изменяется cosпри изменении величины угла от 0° до 90°. Чему равен sin 45°? cos 45°? sin 30°? cos 30°? sin 60°? cos 60°? Какая зависимость между синусом острого угла и косинусом дополнительного угла? Найдите по таблице: sin 23°, sin 65°, cos 18°, cos 71°. Найдите углы, sin которых: 0,81; 0,13; 0,06; cos которых – 0,76; 0,18; 0,09. Приведите примени задач, разрешаемых с помощью sin или cos.