Эта книга содержит изложение математической теории игр и различных ее приложений. Теория игр развивалась одним из нас начиная с 1928 г* и теперь впервые публикуется во всей своей полноте. Приложения имеют двоякий характер: с одной стороны, к играм в собственном смысле слова, с другой стороны, к экономическим и социологическим проблемам. Мы надеемся показать, что подход к ним с этого направления является наилучшим.
Приложения, которые мы будем развивать применительно к играм, будут служить как для подкрепления самой теории, так и для исследования этих игр. Характер этих взаимных отношений станет ясным по ходу исследования. Наши основные интересы лежат, разумеется, в экономическом и социологическом направлениях. Здесь тл сможем рассмотреть лишь простейшие вопросы. Однако эти вопросы имеют фундаментальный характер.
Кроме того, наша цель состоит прежде всего в том, чтобы показать, что существует строгий подход к вопросам, охватывающим проблемы совпадающих или противоположных интересов, полной или неполной информации, свободных разумных решений или случайных воздействий.
Принстон, январь 1943 г.
ФОРМУЛИРОВКА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
§ I. Математический метод в экономике
1.1. Вводные замечания
1.1.1. Целью настоящей книги является рассмотрение некоторых фундаментальных вопросов экономической теории, требующих изучения, от-личного от того, которое до сих пор проводилось в литературе. Дальнейший анализ будет затрагивать некоторые основные проблемы, возникающие при изучении экономического поведения, которые в течение долгого времени находились в центре внимания экономистов. Эти проблемы имеют в своей основе попытки точного описания стремления индивидуума к извлечению максимальной пользы или, в случае предпринимателя, к получению максимальной прибыли. Общеизвестно, сколь значительны — а фактически и непреодолимы — встречающиеся на пути решения этой задачи трудности, имеющие место даже при ограниченном числе типичных ситуаций, как, например, в случаях прямого или непрямого обмена товарами между двумя или более лицами, двусторонней монополии, дуополии, олигополии и свободной конкуренции. Будет выяснено, что структура этих проблем, известных каждому изучавшему экономику, является во многих отношениях существенно иной, чем это представлялось до сих пор. Кроме того, окажется, что точная постановка и последующее решение этих задач могут быть достигнуты только при помощи таких математических методов, которые существенным образом отличаются от технических средств, применявшихся экономистами-мате-матикамп прошлого и современности.
1.1.2. Наши рассмотрения приведут к приложению математической теории «стратегических игр», развитой одним из авторов последовательно в несколько приемов в 1928 и в 1940—1941 гг.[82] После пзложенпя этой теории будет предпринято ее приложение к экономическим задачам в указанном выше смысле. Будет выяснено, что теория игр дает новый подход к ряду еще не решенных к настоящему времени экономических вопросов.
Сначала нам следует выяснить, каким образом эту теорию можно поставить в соответствие экономической теории и что общее имеется у этих теорий. Наилучший путь для этого состоит в кратком описании природы некоторых фундаментальных экономических проблем с тем, чтобы это общее стало очевидным.
После того, как это будет сделано, станет ясным, что в установлении этого соответствия не только нет ничего искусственного, но что, напротив, теория стратегических игр является адекватным аппаратом для развития теории экономического поведения.
Было бы неправильным считать целью наших рассуждений одно лишь установление аналогии между двумя указанными теориями. После разбора нескольких правдоподобных систематизаций мы надеемся достаточно удовлетворительно показать, что типичные задачи экономического поведения оказываются вполне тождественными с математическими понятиями соответствующих стратегических игр.
1.2. Трудности в применении математического метода
1.2.1. Уместно начать с некоторых замечаний, касающихся природы экономической теории, и кратко обсудить вопрос о роли, которую может сыграть математика в ее развитии.
Прежде всего отдадим себе отчет в том, что в настоящее время в экономической теории не существует универсальной системы и что если она и будет создана, то едва ли это произойдет в ближайшее время. Причина этого кроется просто в том, что экономика является слишком сложной наукой для того, чтобы можно было быстро осуществить построение такой системы, особенно если иметь в виду крайнюю ограниченность знаний, а также несовершенство описания фактов, с которыми приходится иметь дело экономисту. Только тот, кто недооценивает эти обстоятельства, может склоняться к попыткам построения универсальной системы. Даже в науках, ушедших по сравнению с экономикой далеко вперед, как, например, в физике, в настоящее время нет универсальной системы.
Продолжим сравнение с физикой. Иногда кажется, будто та или иная физическая теория дает базис для универсальной системы; однако каждый раз вплоть до настоящего времени такие иллюзии сохранялись в лучшем случае в течение десятка лет. Повседневная работа физиков, конечно, не связана со столь высокими целями, а касается скорее тех задач, которые уже достаточно «созрели». По-видимому, в физике вообще не было бы прогресса, если бы делались серьезные попытки форсированно принуждать физиков к построению общей теории. Работа физиков связана с решениями конкретных задач большей или меньшей практической значимости. Этот стиль работы дополняется обт^единением отраслей науки, считавшихся прежде разобщенными и далекими друг от друга. Однако явления последнего типа редки и происходят лишь после того, как каждая из отраслей уже оказывается достаточно изученной. Учитывая тот факт, что экономика является значительно более трудной и менее изученной наукой, находящейся к тому же на гораздо более ранней ступени своего развития, чем физика, не следует ожидать в экономике большего, чем разработок указанного типа.
Отметим, далее, что различия в научных вопросах делают необходимым использование различных методов, которые в дальнейшем могут быть отброшены, как только будут предложены лучшие. Отсюда вытекают два следствия. В некоторых отраслях экономики наиболее плодотворным является тщательное, заботливое описание фактов; действительно, это является наиболее обширной областью исследования как в настоящее время, так и в ближайшем будущем. С другой стороны, уже может оказаться возможным развитие точной теории, и для этого требуется использование математики.
Фактически математика уже использовалась в экономической теории, быть может, даже в большей степени, чем это следовало бы. Во всяком случае, ее использование не было особенно успешным. Это явление противоположно тому, что наблюдалось в других науках, где математика применялась с большим успехом, так что большинство наук теперь едва ли может успешно развиваться без ее применения. Однако объяснить это явление можно совсем просто.
1.2.2. Дело отнюдь не в том, что существуют какие-то кардинальные причины, по которым математику нельзя использовать в экономике. Часто аргументация против применения математики состоит из ссылок на субъективные элементы, психологические факторы и т.п., а также на то, что для многих важных факторов до сих пор нет способов количественного измерения. Эту аргументацию следует отбросить, как совершенно ошибочную. Почти все эти возражения уже приводились или моглп приводиться несколько столетий тому назад по поводу тех наук, в которых ныне математика является основным средством анализа. Выражение «могли приводиться» понимается в следующем смысле. Представим себе, что мы живем в период, предшествующий математической или почти математической фазе развития физики, т.е. в XVI веке, илп в аналогичную эпоху для химии и биологии, т.е. в XVIII веке.
Для тех, кто относится скептически к применению математики в экономике, заметим, что положение дел в физических или биологических науках на этих ранних этапах едва ли было лучше, чем в настоящее время в экономике.
По поводу отсутствия способов измерения большинства важных факторов достаточно сослаться на пример теории теплоты, который является наиболее поучительным; до развития математической теории возможности количественных измерений здесь были еще менее благоприятными, чем теперь в экономике. Точные измерения количества и качества тепла (энергия и температура) были следствием, а не предпосылкой математической теории. Это должно представляться особенно наглядным при сопоставлении с тем фактом, что количественные и точные понятия цен, денег и процента с капитала выработались уже несколько столеннй тому назад.
Следующая группа возражений против возможностей количественных измерений в экономике сосредоточивается вокруг невозможности безграничного дробления экономических величин. Это, дескать, несовместимо с применением инфинитезммальных исчислении и, следовательно (I), математики. Трудно поверить, что эти возражения поддерживаются одновременно с существованием атомистических теорий в физике и химии, кваптовой теории в электродинамике и т.д. и наличием общеизвестных успехов математики в этих дисциплинах.
Здесь же уместно упомянуть другой часто встречающийся в экономической литературе аргумент, который также можно рассматривать как возражение против математических методов.
1.2.3. Для освещения концепций, которые мы будем прилагать к экономике, мы приводим и будем приводить далее некоторые иллюстрации из физики. Многие социолога возражают против проведения таких параллелей по различным причинам, среди которых обычно приводится и утверждение о том, что экономические теории не могут моделироваться по образцу физических, так как в них приходится принимать в расчет психологические факторы и т.д. Подобные утверждения по меньшей мере незрелы. Несомненно, представляется разумным вскрыть, что