дель с собакой дает нам только один вариант – собака, в то время как вторая модель предполагает множество вариантов, к которым может относиться кошка, корова, коза, лошадь, собака и любое другое млекопитающее, оказавшееся на лужайке перед домом вашей подруги. Простая модель может оказаться правильной, если животное залает, однако она будет ошибочной, если вместо лая раздастся мяуканье, блеянье, мычанье или ржанье. Более сложная модель будет правильной для всех вышеперечисленных случаев, однако если животное зачирикает, она окажется ошибочной.
Простые модели более хрупкие в том смысле, что их можно легко разрушить с помощью опровергающих фактов. Сложные же модели, благодаря тому, что их параметры позволяют учитывать больше значений, обычно адаптируются к данным наблюдений, и поэтому их труднее опровергнуть. Это одна из причин долговечности системы Птолемея: в ней было заложено столько параметров, что ее можно было адаптировать к любому набору данных.
Кеплер убедился в хрупкости и неустойчивости простых моделей на собственном опыте, когда он попытался проверить результаты астрономических наблюдений Браге при помощи своей модели. Несмотря на все старания, у него ничего не получилось. Если бы он воспользовался сложными моделями Птолемея или Коперника, он легко бы нашел выход, добавив окружности. Если бы в его распоряжении было 80 или около того параметров, то такой блестящий математик, как Кеплер, вооружившись терпением, нашел бы способ, как адаптировать свою модель. Однако в его случае количество параметров ограничивалось пятью платоновыми телами, и все, что он мог сделать, – поменять порядок их расположения, но и здесь, как мы знаем, вариантов было немного. Кеплер испробовал все, однако ему так и не удалось преодолеть барьер в 90 % точности соответствия наблюдениям Браге.
Далее Кеплеру пришлось пойти на усложнение модели. Такое решение не противоречит принципу бритвы Оккама, ведь, вопреки заявлению недоброжелателей, он не сводится к утверждению, что мир прост, а лишь призывает нас не множить сущности без необходимости. Если же этих сущностей недостаточно для полноты суждения, то принцип бритвы дает нам полное право добавлять столько сущностей, сколько необходимо, и так долго, пока необходимость не исчерпает себя. Дополнительная сложность, которую Кеплер привнес в свою модель, заключалась в том, что он отказался от догмы Платона о движении планет с одинаковой скоростью и предположил, что Марс, вращаясь вокруг Солнца, меняет скорость. Подобное усложнение привело к желаемому результату: исчезли пять эпициклов в системе Коперника. Они стали сущностями, которые не следует множить без необходимости, и Кеплер попросту их убрал.
Позже Кеплер занялся вычислением радиуса идеальной окружности – так он представлял себе орбиту Марса. Однако и здесь его подстерегала неудача. Он пишет:
Если этот обременительный способ работы вам [дорогие читатели] не нравится, вы можете справедливо пожалеть меня, поскольку я вынужден был это проделать по меньшей мере 70 раз с большой затратой времени. Поэтому вы не удивитесь тому, что прошло уже пять лет с тех пор, как я начал заниматься Марсом…[238]
После пяти лет сложных утомительных расчетов (напомню, что они производились без логарифмической линейки, потому что она еще не была изобретена) Кеплеру наконец удалось добиться соответствия расчетных данных и четырех критических значений из наблюдений Браге. «Ты видишь теперь, о прилежный читатель, что гипотеза, основанная на этом методе, не только удовлетворяет четырем исходным положениям, но с точностью до 2́ согласуется со всеми другими наблюдениями. – Однако далее Кеплер жалуется: – Как же это могло быть? Гипотеза, которая хорошо согласуется с наблюдениями противостояний, все же ошибочна»[239].
Чтобы испытать свою модель, Кеплер исключил из нее еще два показателя, зафиксированные Браге, и в этот момент произошла катастрофа: упрямые факты, полученные в результате наблюдений, развеяли в прах его гипотезу о платоновых телах внутри планетарных орбит, которую он трепетно лелеял. Теперь расхождение с результатами измерений Браге составляло восемь угловых минут (диаметр Луны равен приблизительно 30 угловым минутам). Кеплер сетовал: «Ибо если бы я полагал, что этими восемью минутами можно пренебречь, я бы подправил свою гипотезу соответствующим образом». Речь идет о том, что он мог бы скорректировать параметры в соответствии с данными наблюдений. Однако Кеплер знал, что его простая и поэтому хрупкая и неустойчивая модель не оставляла ему такой возможности и не могла объяснить расхождения с данными наблюдений на восемь угловых минут. Тогда он пришел к следующему выводу: «Наконец, это затруднение дает возможность найти истинный вид небесных движений… Таким образом, эти 8́ указали путь к обновлению всей астрономии, они явились материалом для большей части данной работы»[240]. Единственное, что оставалось Кеплеру, чтобы не стоять на месте, – отбросить платоновы тела и начать сначала.
Несмотря на столь значительное расхождение в результатах, Кеплер чувствовал, что он близок к решению. Предположение о неравномерной скорости движения было удачным, и это позволило ученому сделать следующий шаг: отказаться еще от одной догмы, согласно которой небесные тела двигались по идеальным круговым орбитам. Почти все астрономы со времен Платона полагали, что орбиты небесных тел должны представлять собой идеальные окружности, ибо небесные тела – это обитатели небесной сферы. Безусловно, любая окружность идеальна по определению, однако Платон и его последователи видели в этом совершенство математической красоты, то есть элегантность, гармонию и максимальную простоту двухмерного объекта, который можно описать с помощью одной-единственной величины – радиуса. Кеплер, хотя и неохотно, сделал попытку изменить форму орбиты. Он попробовал несколько кривых, пока не остановился на эллипсе, который представляет собой коническое сечение, одно из тех, которые получаются при пересечении плоскостью кругового конуса (рис. 14). Простейшим коническим сечением считается окружность, поскольку она имеет только одну характеристику, указывающую, в каком месте конуса сделано поперечное сечение. Далее следует эллипс, полученный как пересечение плоскости и круглого конуса под углом. Он обладает двумя характеристиками, указывающими на две точки конуса, то есть начало и конец эллипса. Если рассматривать эллипс отдельно, его можно представить как кривую, описанную вокруг двух точек, в то время как окружность имеет один центр. Кеплер обнаружил, что если предположить, что орбита движения Марса – эллипс, то тогда результаты его модели наконец совпадают с результатами наблюдений Браге.
Рис. 14. Конические сечения
Это было поистине знаковое открытие, но касалось ли оно только Марса? Чтобы это выяснить, Кеплер применил принцип неравномерности движения к другим планетам и придал форму эллипса их орбитам, включая орбиту Земли. К своему удивлению, он обнаружил, что результаты, полученные на основе его модели, полностью совпадают с результатами Браге. На этот раз ему действительно удалось постичь тайну небес.
Однако вывод, последовавший за этим открытием, был еще более ошеломляющим. На протяжении почти двух тысячелетий было принято считать, что небо состоит из хрустальных сфер, на которых планеты совершают вращение по идеально ровным круговым орбитам. Кеплер дополнил эту картину мира своей пифагорейской мечтой – платоновыми телами. Платоновы тела как нельзя лучше соотносились с концепцией сферы и поэтому служили подтверждением теории идеально круглых орбит. Однако, когда Кеплер заменил окружность эллипсом, он нанес сокрушительный удар и по небесным хрустальным сферам, и по платоновым телам, поскольку ни те ни другие не вписывались в эллиптические орбиты.
Тем не менее среди астрономической путаницы наконец появилась модель Вселенной, в которой нет хаотичного нагромождения циклов, эпициклов и эквантов. В ее основе лежала простота. Добавив всего три усложняющих элемента к простой геоцентрической модели, Кеплер построил гелиоцентрическую модель Вселенной, которая актуальна и по сей день. Она остается первым и величайшим достижением современной науки.
Рис. 15. Солнечная система Кеплера с эллиптическими орбитами планет
Однако сам Кеплер не испытывал гордости по поводу своего открытия. Он рассчитывал на большее, когда мечтал постичь пифагорейскую гармонию небес. По сравнению с этим эллипс был всего лишь скромным открытием, не более чем «мерой навоза для удобрения небесной почвы», по его собственному выражению[241].
Отказавшись от догм, принятых в астрономии со времен Античности, и сокрушив хрустальные сферы, Кеплер получил представление о том, в каком направлении должна развиваться наука. Прорвавшись сквозь хаос окружностей, он сумел увидеть и сформулировать три математических закона, по которым происходит движение всех планет Солнечной системы. О том, насколько важны законы для науки, говорит хотя бы пример Оксфордских калькуляторов: их теорема о средней скорости актуальна и сейчас (хотя ее авторство нередко незаслуженно приписывается другим). Как и теорема о средней скорости, математические законы Кеплера позволили подчинить субъективную сложность логике. Законы делают мир более простым, а значит, более предсказуемым.
Согласно первому закону Кеплера, орбита каждой планеты представляет собой эллипс, в одном из фокусов[242] которого находится Солнце. Второй закон утверждает, что радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету во время ее движения по своей орбите, описывает равные площади за равные промежутки времени. Таким образом, если провести линию, соединяющую Солнце с точками, в которых будет находиться планета каждый месяц за время своего вращения, мы получим двенадцать секторов, из которых состоит эллипс планетарной орбиты. Согласно второму закону Кеплера, площади этих секторов будут равны. Третий закон Кеплера утверждает, что квадрат времени обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу длины большой полуоси эллиптической орбиты (т. е. кубу среднего расстояния от планеты до Солнца). Это трудно представить, однако этот закон описывает соотношение между периодом вращения планеты и ее расстоянием до Солнца. Третий закон Кеплера, пожалуй, самый революционный, поскольку, согласно ему, орбиту планеты определяет ее расстояние до Солнца, а не боги, ангелы или философские принципы. Итак, благодаря третьему закону Кеплера сверхъестественные силы, которые хозяйничали в небесах, превратились в сущности, которые не следует множить без необходимости.