T(Mk) некоторый цикл Y, прообраз которого Q в многообразии Мk и называется характеристическим циклом. Очень легко доказывается, что характеристические циклы не зависят от числа l при достаточно большом l и являются инвариантами гладкого многообразия Mk. Здесь имеются, конечно, в виду циклы с точностью до гомологий, т. е. классы гомологий, поэтому в дальнейшем они стали называться классами Понтрягина, а не циклами. В дальнейшем характеристические классы стали предметом изучения многих математиков и играли большую роль в топологии. Первая же важная проблема, которая связана с ними, заключается в следующем: легко доказывается, что характеристические классы являются инвариантами гладкого многообразия Mk; возникает вопрос, не являются ли они инвариантами самого топологического многообразия Mk? Эту задачу я пытался решить, но не сумел.
Много лет спустя С. П. Новиков доказал, что если рассматривать характеристические классы над полем рациональных чисел, то они являются инвариантами топологического многообразия Mk, т. е. не зависят от введённой на нём гладкости. Характеристические классы конечного порядка, напротив, не являются инвариантами топологического многообразия Mk. Это было установлено и сыграло также существенную роль для решения некоторых важных задач. В частности, это обстоятельство было использовано для доказательства того, что на топологической сфере можно ввести различные гладкости, не эквивалентные между собой.
Связь между гомотопической классификацией отображений сферы Sn+k на сферу Sn и теорией гладких многообразий была установлена мною отнюдь не в 1936 году, а гораздо позже, когда я старался упростить доказательство, которое для k=1, 2 первоначально было чудовищно сложно, а также старался решить задачу классификации отображений для k≥3. Мне кажется, что характеристические циклы были построены мною ещё до войны, но первая публикация была дана только в 1942 году 14. Существенно упростить решение задачи для k=1 и k=2 мне удалось. Решить задачу для k≥3 не удалось, несмотря на все мои усилия.
Попытки решить эту задачу продолжались несколько лет. Точно так же несколько лет я занимался гладкими многообразиями, в частности оснащёнными, а также характеристическими классами.
Эта деятельность была закончена мною в начале 50-х годов и завершилась чтением курса лекций на эту тему. Затем была опубликована монография «Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий» в 1955 г. в «Трудах Математического института»[35].
Несмотря на то, что я не сумел решить задачу для k≥3, результаты, полученные мною по теории гладких многообразий, оказались существенными и вошли в топологию гладких многообразий. Независимо от меня задачей классификации отображений Sn+k на Sn занимался Лере, но совершенно на другом пути. Его первоначальные публикации, подводящие к решению этой проблемы, были крайне формалистичны, и совершенно не видно было, к чему они ведут. Так что я только попытался их изучить, а потом бросил.
В конечном счёте Лере на своём пути решил задачу классификации отображений сферы Sn+kна сферу Sn при произвольном k. Этим самым моя многолетняя работа в этой области была мною закрыта. Это послужило одной из причин, по которым я полностью бросил топологию и занялся прикладными проблемами. Впрочем, для этого были и более существенные причины. Об этом, однако, я расскажу позже.
Математик не скажет: «Я работал», он скажет: «Я занимался». Это значит, он занимался математикой. Может быть, читал математическую работу, может быть, старался доказать новую теорему, может быть писал собственную работу, излагая уже полученные результаты. Обо всём этом говорится: «занимался».
Иногда мне задают вопрос: в чём состоит кухня математического творчества, или иначе: в чём заключается кухня математических занятий, т. е. как получаются новые математические результаты. Полноценного ответа на этот вопрос, я думаю, дать нельзя. Один из героев А. С. Пушкина («Египетские ночи») говорит: «Всякий талант неизъясним». Подражая Пушкину, можно было бы сказать: процесс математического творчества неизъясним.
Стараясь объяснить процесс научного творчества, Пуанкаре относил значительную часть его на подсознательную деятельность мозга. Делая это, он тем самым отказывался от ответа на вопрос, так как подсознательная деятельность мозга не наблюдаема. Всё же я думаю, что кое-что о процессе математических занятий сказать можно, и постараюсь это сделать.
Главная часть математических занятий заключается в получении новых математических результатов. Математические результаты я делю на два различных типа:
*1*. Математический результат предвидится и формулируется заранее, почти без всяких занятий, а занятия должны дать ответ на вопрос: верен ли формулируемый результат или не верен. То есть здесь имеется лишь два возможных ответа: да или нет.
*2*. Математический результат нельзя предвидеть заранее без всякого научного исследования. Математик имеет дело с какой-то задачей или явлением и ответа заранее предвидеть не может. Его нужно найти. Это и будет результат. В этом случае результат представляет собой совершенно новое математическое явление, или, иначе говоря, новую картину, которую нужно найти, одновременно убеждаясь в том, что она правильна и даёт решение поставленной задачи.
Для результата 1-го типа главный интерес, как правило, заключается в его доказательстве, а не в формулировке. Для результата 2-го типа интересна формулировка, а не только доказательство. Мне лично гораздо больше нравятся результаты 2-го типа. Приведу классические образцы результатов 1-го и 2-го типов.
Результат 1-го типа: проблема Гольдбаха. Ещё в XVIII столетии петербургский академик Гольдбах сформулировал следующую теорему: каждое чётное число может быть представлено как сумма двух простых чисел. Проблема Гольдбаха заключается в том, чтобы дать ответ на вопрос, правильна ли эта теорема или неправильна.
Проблема Гольдбаха до сих пор не решена. Ослабленная проблема Гольдбаха была решена И. М. Виноградовым в 1937 году. Она заключается в следующем. Легко видеть, что если теорема Гольдбаха верна, то каждое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Однако из этой теоремы не следует теорема Гольдбаха. Когда говорят, что Виноградов решил проблему Гольдбаха, то имеют в виду данное им доказательство теоремы о том, что всякое нечётное число можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Доказать теорему Гольдбаха очень трудно, так как в ней увязываются аддитивные и мультипликативные свойства целых чисел, кроме того, трудность видна также из того, что она до сих пор не поддаётся решению, а решена только частично и то с огромным трудом. Заслуга Виноградова заключается не столько в том, что он решил ослабленную проблему Гольдбаха, а в том, что он создал новый метод — метод тригонометрических сумм, позволивший ему решить ряд теоретико-числовых проблем. В частности, ослабленную проблему Гольдбаха.
Результат 2-го типа. Предельные циклы Пуанкаре. Если состояние технического или физического объекта определяется двумя величинами x, y, то процесс изменения этих величин во времени обычно описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений
Здесь правые части уравнений не зависят от времени t, т. е. система (1) автономна. Систему дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать на плоскости в виде векторного поля, ставя в соответствие каждой точке (x, y) плоскости фазовый вектор (f(x, y), g(x, y)). Решение системы (1) можно также интерпретировать в виде линии на той же фазовой плоскости. Для этого проводят линию, описываемую решением (x(t), y(t)) на фазовой плоскости, считая t параметром. Эти линии называются фазовыми траекториями системы (1). Они не пересекаются между собой, покрывают всю плоскость и дают так называемую фазовую картину решений системы дифференциальных уравнений (1). Две эти интерпретации связаны между собой. Фазовой вектор, отнесённый к точке (x, y), касается фазовой траектории, проходящей через эту точку.
Если задано начальное значение (x0, y0) при заданном значении времени t0, то, конечно, можно вычислить решение системы уравнений (1) при этом начальном значении на любом конечном отрезке времени t0 ≤ t ≤ t1. Возможность нахождения численного решения дают современные вычислительные машины. Но нахождение таких решений на конечном отрезке времени не решает всех проблем, которые возникают относительно системы дифференциальных уравнений (1). Так, вопрос о том, имеет ли система уравнений (1) периодические решения, т. е. замкнутые фазовые траектории, решить, вычисляя решения на конечных отрезках времени, невозможно. Точно так же невозможно решить вопрос о том, как ведут себя траектории, когда время неограниченно возрастает, а это очень важно для разных технических вопросов. На всё это обратил внимание Пуанкаре, введя в рассмотрение фазовую картину системы дифференциальных уравнений (1), положив этим начало качественной теории дифференциальных уравнений.
Пуанкаре принадлежит основное понятие, возникшее в качественной теории, — понятие предельного цикла. Периодическое решение системы (1) изображается на плоскости в виде замкнутой фазовой траектории. Если вблизи неё нет других замкнутых траекторий, то эта замкнутая фазовая траектория называется предельным циклом. Оказывается, что фазовые траектории, проходящие вблизи предельного цикла, наматываются на него как спирали и изнутри, и снаружи, при неограниченном возрастании или убывании времени