Pontriagin Lev Semenovich. — In: Who's who in Soviet science and technology / Сотр. I. Telberg, Ph. D. 2nd ed. rev. and enl. New York, 1964, p. 166.
Pontrjagin L. S. — In: Brockhaus Enzykl., 1972, Bd. 14, S. 807.
Pontrjagin L. S. — In: Meyers Lexikon. A — Z. Leipzig, 1974, S. 734.
Pontrjagin L. S. — In: Meyers Taschenlexikon. A — Z. Leipzig, 1968, S. 647.
Pontrjagin Lev Semenovich. — In: Uj magyar lexikon. Budapest, 1961, k. 5, 460. old.
Pontrjagin Lev Semenovich. — In: World who's who in science: A biographical dictionary of notable scientists from antiquity to the present, 1st ed. / Ed. A. G. Debus. Chicago: Marquis who's who, 1968, p. 1361.
Pontryagin Lev Semyonovich. — In: The International who's who. — 22–42 ed. 1958–1979. London: Europa publ., 1958–1978.
Pontryagin Lev Semyonovich. — In: Who's who in the world, 2nd ed. 1974–1975. Chicago: Marquis who's who, 1973, p. 795.
Turkevich J. Soviet men of science: Academicians and corresponding members of the Academy of sciences of the URSS. Princeton: D. Van Nostrand Comp., 1963, p. 298–299.
Turkevich J., Turkevich L. B. Prominent scientists of Continental Europe. New York: Am. Elsevier Publ. Comp., 1968, p. 194.
Избранные статьи и выступления
О моих работах по топологии и топологической алгебре
Свою работу по топологии я начал ещё студентом Московского университета и опубликовал две научные работы[57][58], связанные с теоремой двойственности Александера (Alexander[59]). Третьей моей работой была дипломная работа[60], в которой я сильно усовершенствовал две предыдущие.
Для того чтобы рассказать об этих трёх работах, я должен объяснить прежде всего, что такое теорема двойственности Александера. Всем хорошо известна теорема Жордана о том, что замкнутая кривая, расположенная на плоскости без самопересечения, разбивает плоскость ровно на две части, внутреннюю и внешнюю. Далеко идущим обобщением этой простой теоремы Жордана, которая, однако, доказывается не просто, является теорема двойственности Александера. Теорему двойственности Александера можно сформулировать только на основе введённых Пуанкаре циклов и гомологий между ними.
Первоначально Пуанкаре рассматривал циклы и гомологии между ними в многообразиях наглядно геометрически, но затем был вынужден ввести триангуляцию многообразий, и тем самым открыл путь для переноса понятий циклов и гомологий на комплексы.
Линейную форму ориентированных r-мерных симплексов комплекса K, взятых с некоторыми коэффициентами, стали называть в дальнейшем r-мерной цепью. При этом коэффициентами могут служить фактически элементы произвольной коммутативной аддитивной группы Γ. Обычно берётся аддитивная группа целых чисел или группа вычетов по модулю m. Определяется граница цепи, причём границей r-мерной цепи является (r–1) — мерная цепь. Если граница цепи равна нулю, то цепь называется циклом. Цикл называется гомологичным нулю, если он является границей некоторой цепи. Два цикла считаются гомологичными между собой, если их разность гомологична нулю. Таким образом, все r-мерные циклы комплекса K разбиваются на классы попарно гомологичных. Эти классы естественно образуют коммутативную аддитивную группу. Пуанкаре рассматривал только целочисленные коэффициенты и назвал число линейно независимых элементов этой группы числом Бетти, а числа, характеризующие подгруппу, состоящую из элементов конечного порядка, — коэффициентами кручения комплекса. Позже всю группу стали называть r-мерной группой гомологий комплекса K и обозначать через HΓr(K).
Если группа гомологий рассматривается по простому модулю p, то число её независимых элементов по модулю p называют числом Бетти по модулю p. Для непростого модуля m число Бетти определить невозможно. В теореме двойственности Александера речь идёт о числе Бетти по mod 2. Она формулируется следующим образом.
Пусть K — комплекс, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в n-мерном евклидовом пространстве Rn. Тогда число Бетти P2r(Rn\K) no mod 2 размерности r пространства Rn\K равно числу Бетти P2n — r–1(K) по mod 2 размерности n — r–1 комплекса K.
В частном случае, когда K есть комплекс, гомеоморфный окружности, a Rn есть плоскость R2, r=0, теорема двойственности Александера превращается в теорему Жордана.
Доказательство теоремы двойственности Александера опирается на большое количество тонких геометрических конструкций. Появление её в 20-х годах было большим событием в области топологии.
Примерно в то же самое время, когда я познакомился с теоремой двойственности Александера, я познакомился также и с понятием коэффициента зацепления Брауэра.
Коэффициент зацепления был определён Брауэром для двух замкнутых ориентированных, т. е. определённым образом направленных замкнутых кривых, расположенных в трёхмерном пространстве R3 без взаимопересечения. Он определялся или как интеграл и тогда имел вполне определённый электротехнический смысл, или геометрически как алгебраическое число точек пересечения плёнки, натянутой на одну из замкнутых кривых, с другой замкнутой кривой. Коэффициент зацепления легко определяется для двух не пересекающихся между собой циклов размерности r и n — r–1, расположенных в евклидовом пространстве Rn. Он есть целое число, если циклы берутся с целочисленными коэффициентами, и вычет по mod m, если циклы берутся по mod m.
В своей первой опубликованной работе я усилил теорему двойственности Александера и придал ей новый смысл, использовав коэффициенты зацепления. Мой результат можно формулировать следующим образом:
Пусть K — комплекс, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в евклидовом пространстве Rn размерности n. Если zr — произвольный r-мерный, отличный от нуля класс гомологий пространства Rn\K, то в комплексе K найдётся такой класс гомологий zn — r–1 размерности n — r–1, что коэффициент зацепления между классами zr и zn — r–1 отличен от нуля. Аналогично, если zn — r–1 — некоторый отличный от нуля класс гомологий комплекса K, то в пространстве Rn\K найдется класс гомологий zr размерности r, коэффициент зацепления которого с классом zn — r–1 отличен от нуля. Всё делается по mod 2.
Эта моя теорема устанавливала алгебраическую связь между группой гомологий H2r(Rn\K) пространства Rn\K и группой гомологий HΓr(K) комплекса K, которую я стал называть двойственностью. Из двойственности групп вытекал непосредственно и их изоморфизм, а следовательно, и теорема двойственности Александера. Хотя из двойственности групп и вытекает их изоморфизм, но изоморфизм этот не является единственным естественно определённым изоморфизмом. Таким образом, двойственность есть нечто другое, чем изоморфизм. Такую же двойственность легко установить между группами по mod m. Из неё также вытекает изоморфизм, однако этот изоморфизм не является естественно определённым и единственным. Таким образом, мой результат придал теореме двойственности Александера новый алгебраический смысл.
Значение моего результата заключалось также и в том, что вместо чисто негативного понятия негомологичности цикла нулю выступало новое позитивное понятие зацеплённости цикла с другим. Этот позитивный характер результата делает его эффективным средством исследований. Следует отметить, что при доказательстве своего результата я использовал все геометрические конструкции Александера.
Во второй своей работе я рассматривал комплекс K, криволинейно, но без самопересечений, расположенный в n-мерном многообразии Mn, а не в евклидовом пространстве Rn. Задача ставилась прежняя: изучить группы гомологий пространства Mn\K.
Вложение комплекса K в многообразие Mn влечёт за собой гомоморфизм группы гомологий комплекса K в группу гомологий многообразия Мn. Ядро этого гомоморфизма размерности n — r–1 обозначим через Ĥ2n — r–1(Mn\K). Точно так же включение области Mn\K в Mn влечёт гомоморфизм группы гомологий Mn\K в группу многообразия Mn. Ядро этого гомоморфизма мы обозначим через Ĥ2r(Mn\K).
Во второй моей опубликованной работе устанавливалась двойственность между группами Ĥ2n — r–1(Mn\K) и Ĥ2r(