Mn\K), осуществляемая при помощи коэффициентов зацепления. Делается это по mod 2. Кроме того, было установлено, при каких условиях класс гомологий многообразия Mn содержит цикл, не пересекающийся с K. Оказалось, что такими являются те классы гомологий, индексы пересечения которых с любыми циклами комплекса K дополнительной размерности равны нулю. Это было сделано по mod 2. Два этих результата давали достаточно полную информацию о числах Бетти по mod 2 многообразия Mn\K. Во второй своей работе я вновь использовал тонкие геометрические конструкции Александера.
В дипломной работе мной была сильно усовершенствована вторая работа как в алгебраическом, так и в геометрическом отношениях. В ней я обошёл геометрические трудности, рассматривая лишь прямолинейные комплексы, составленные из подразделений первоначальной триангуляции многообразия Mn, и для установления двойственности использовал барицентрические звёзды этих подразделений, как это делал Пуанкаре, отчего произошло сильное геометрическое упрощение. Переход к криволинейному комплексу осуществлялся путём аппроксимации его прямолинейными комплексами. Алгебраической основой исследования являлась двойственность между цепями, составленными из симплексов, и цепями, составленными из барицентрических звёзд. Всё делалось с целочисленными коэффициентами и по произвольному mod m. Вторая часть моего результата приобрела самостоятельное существование и стала называться теоремой о снятии цикла. В ней утверждалось, что для цикла многообразия Mn, индекс пересечения которого с каждым циклом из комплекса K равен нулю, существует гомологичный ему цикл, расположенный вне K. Теорема о снятии цикла позволила, в частности, дать оценку тонкого гомотопического инварианта категории многообразия Mn, введённого Люстерником и Шнирельманом для оценки числа замкнутых траекторий на многообразии гомеоморфном сфере. Определение категории многообразия, данное Люстерником и Шнирельманом, носило сугубо негативный характер, и потому вычисление её было очень затруднительным. Оценка её снизу при помощи теоремы о снятии цикла давала эффективную возможность находить категорию многообразия.
Для того чтобы рассказать о следующей своей существенной работе, связанной с теоремой двойственности Александера, остановлюсь на структуре группы Hr(K) комплекса K, построенной при помощи целых коэффициентов. Возьмём в этой группе подгруппу Hr(K), составленную из элементов конечного порядка. Тогда группа Hr(K) распадается в прямую сумму некоторой группы Lr(K) и группы Hr(K). Группа Lr(K) представляет собой прямую сумму конечного числа свободных циклических групп. Число их и есть число Бетти, определённое Пуанкаре. Числовые инварианты группы Hr(K) были названы Пуанкаре коэффициентами кручения.
В моей дипломной работе было установлено, в частности, что если комплекс K расположен в евклидовом пространстве Rn, то группы Ln — r–1(K) и Lr(Rn\K) двойственны между собой посредством коэффициентов зацепления, являющихся целыми числами, но группа Hr(Rn\K) двойственна группе Hn — r–2(K). Таким образом прямые слагаемые Lr(Rn\K) и Hr(Rn\K) однозначно определены комплексом K и не зависят от его расположения в пространстве Rn. В то время как я занимался этими вопросами, уже была определена группа гомологий произвольного компактного метрического пространства F по любому полю коэффициентов, так же как по целочисленному полю коэффициентов. Мне показалось, что для завершения проблемы двойственности необходимо установить, что если компактное множество F расположено в евклидовом пространстве Rn, то целочисленная группа гомологий его дополнения Rn\F есть инвариант самого множества F, а не зависит от его расположения в Rn. Трудность заключалась в том, что группа Hr(Rn\F) уже не была группой с конечным числом образующих и не распадалась в прямую сумму свободной группы и группы кручений, а потому не могла быть вычислена таким же образом, как это было сделано с комплексом. Я решил эту задачу, совершив очень нетривиальное действие, приняв за коэффициенты преобразований групп гомологий компактного множества F не целые числа, не вычеты по mod m, а совершенно новую группу K. Определение её следующее:
K есть фактор-группа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел. Таким образом, K представляет собой аддитивную запись группы вращения окружности и является топологической группой. Приняв за коэффициенты при построении группы гомологий компактному множеству F элементы группы K, я получил саму группу гомологий HKr(F) в виде компактной коммутативной топологической группы. Результат был следующим:
Пусть F — компактное подмножество n-мерного евклидова пространства Rn. HKn — r–1(F) — группа гомологий размерности n — r–1 компакта F, построенная при помощи коэффициентов из группы K. Через Hr(Rn\F) обозначим r-мерную группу гомологий пространства Rn\F, построенную при помощи целочисленных коэффициентов. Тогда группы HKn — r–1(F) и Hr(Rn\F) двойственны между собой, причём двойственность определяется коэффициентами зацепления, которые являются элементами группы K. Таким образом, каждый элемент группы Hr(Rn\F) является гомоморфизмом группы HKn — r–1(F) в группу K, т. е. характером группы HKn — r–1(F). Точно так же каждый элемент группы HKn — r–1(F) является гомоморфизмом группы Hr(Rn\F) в группу K. Таким образом, я показал, что каждая из двух рассматриваемых групп, находящихся в соотношении двойственности, является группой характеров для другой. Этот результат представляет собой очень интересный алгебраический факт, который привёл меня к постановке нового вопроса. Является ли каждая компактная коммутативная группа группой характеров некоторой дискретной коммутативной группы[61]?
Сейчас мне совершенно неясно, действительно ли этот вопрос возник в результате получения теоремы двойственности Александера для компактных подмножеств евклидова пространства. Трудно было прийти к мысли о взятии за коэффициенты элементов группы K и построении группы гомологий компактного метрического пространства в виде компактной топологической коммутативной группы, не имея понятия о топологических группах. Вероятнее всего, я пришёл к мысли об использовании элементов группы K в роли коэффициентов, уже имея какое-то представление о компактных коммутативных топологических группах и их характерах. Без этого использование группы K для коэффициентов кажется психологически неоправданным и непонятным скачком.
К проблемам топологической алгебры я подошёл ещё и совершенно с другой стороны. Именно, я доказал, что всякое связное локально-компактное тополого-алгебраическое тело изоморфно либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов. Других возможностей нет. Этот результат имеет глубокий методологический смысл. Он показывает нам, что никаких объектов, аналогичных действительным и комплексным числам, не существует. Именно поэтому действительные и комплексные числа лежат в основе математического анализа. Этот результат был ответом на вопрос, поставленный А. Н. Колмогоровым. Случай коммутативного тела был разобран мной очень быстро, в течение недели или двух, что поразило Колмогорова, который сперва даже не поверил, что я смог с этим справиться. Но случай некоммутативного тела дался очень трудно. Я занимался им около года и разработал приёмы, которые позволили мне в дальнейшем изучить не только компактные, но и локально-компактные коммутативные группы.
Занимаясь топологической алгеброй, я изучил также компактные, вообще говоря, некоммутативные группы. Именно, доказал, что каждая такая группа является в некотором смысле пределом последовательности групп Ли[62].
Для доказательства того, что каждая компактная коммутативная группа Γ является группой характеров дискретной группы, достаточно было доказать, что, каков бы ни был отличный от нуля её элемент a, всегда существует такой гомоморфизм группы Γ в K, при котором элемент a не переходит в нуль. Для того чтобы изучить структуру компактной, вообще говоря, некоммутативной группы, достаточно было показать, что для каждого отличного от 1 элемента a этой группы существует гомоморфизм этой группы в некоторую группу Ли, при которой элемент a не переходит в 1.
При доказательстве этих фактов мной были использованы замечательный результат венгерского математика Хаара, который построил инвариантную меру на локально-компактных топологических группах, а также теория Германа Вейля линейных представлений компактных групп Ли, который использовал инвариантную меру на этих группах для нахождения представления групп Ли.