Mk. Таким же способом я изучил гомологии некоторых других серий многообразий. Но важнейшими считаю результаты, относящиеся к четырем сериям простых групп Ли и к серии многообразий
H(k, l); l = 1, 2…
Замечу в заключение, что в некоторых случаях мне было недостаточно только знать, что ортогональные траектории к поверхности уровня существуют, но нужно было вычислить их конкретно. Так, при изучении группы Ml ортогональных матриц надо было конкретно вычислить все траектории, ортогональные к поверхностям уровня, выходящие из единичного элемента подгруппы Hl–1, и посмотреть, где они кончаются на многообразии M″l–1. Таким образом, мне пришлось провести некоторые не вполне простые вычисления.
Задача гомотопической классификации отображений одного пространства в другое являлась центральной задачей топологии в 1936 г., когда я начал ей заниматься. Чтобы сделать максимально понятными мои результаты в этой области и способ подхода к решению гомотопических задач, выбранный мной, напомню основные определения.
Будем рассматривать непрерывные отображения топологического пространства X в топологическое пространство Y. Обозначим через I числовой отрезок 0 ≤ t ≤ 1 и составим прямое топологическое произведение отрезка I на пространство X, т. е. множество всех пар (t, x), где tÎI, xÎX. Пусть Φ — непрерывное отображение произведения I×X в Y.
Положим Φ(t, x) = φt(x). Отображение φt является отображением пространства X в пространство Y, непрерывно зависящим от параметра t. Говорят, что φt представляет собой непрерывную деформацию отображения φ0 в отображение φ1, а два отображения φ0 и φ1 пространства X в пространство Y считаются гомотопически эквивалентными или гомотопными. Таким образом, все непрерывные отображения пространства X в пространство Y разбиваются на классы гомотопных между собой отображений. Задача гомотопической классификации отображений пространства X в пространство Y заключается в нахождении всех гомотопических классов отображений пространства X в пространство Y. Отображение φ0 считается гомотопным нулю, если отображение φ1 переводит всё пространство X в одну точку пространства Y.
Пытаясь решить задачу о гомологической характеристике обычной размерности множества, я пришёл к задаче гомотопической классификации отображений сферы Sk+l размерности k+l в сферу размерности l, где k — неотрицательное число, а l — произвольное натуральное число. К тому времени, как я занялся этой задачей, некоторые результаты уже были получены Хопфом. Именно, он решил задачу для k=0, а также дал целочисленный инвариант отображений трёхмерной сферы S 3 в двумерную сферу S 2. В 1936 г. я решил задачу для k=0 и произвольного l. Именно, доказал, что для l=2 хопфовский инвариант является единственным, а для l>2 существуют только два класса отображений сферы S 1+l в сферу S l. Замечу, что для k=0 Хопф нашёл единственный целочисленный инвариант отображения сферы S l в сферу Sl. Это степень отображения. Таким образом, к самому моменту, как я начал заниматься задачей, все известные случаи сводились к счётному числу класса отображений, а у меня получились только два отображения сферы S1+l в сферу Sl при l>2. Результат показался мне совершенно поразительным. В то же время я занимался задачей для kl=2. Совершив ошибку в вычислениях, я получил неправильный результат, который утверждал, что существует только один класс отображений сферы S 2+l в сферу S l. Позже, когда стал писать полное изложение работы, я исправил ошибку и установил, что число классов отображений сферы S 2+l в сферу S l равно двум. Моё первоначальное решение задачи для k=1, 2 было чудовищно сложно. Постепенно я его упростил. Изложу здесь основные этапы того упрощённого доказательства, которое получилось в конце концов в результате всех моих усилий.
Будем рассматривать отображение произвольного пространства X в сферу S l. Оказывается, что гомотопическую классификацию таких отображений можно локализовать следующим образом. На сфере S l выделим две диаметрально противоположные точки p и q — два полюса. Обозначим через Hε шар с центром в p радиуса ε в сфере S l. Оказывается, что если два отображения f и g пространства X в сферу S l совпадают на Hε, то они гомотопны между собой. Разъясним это высказывание. Обозначим через f –1(Hε) и g–1(Hε) полные прообразы шара Hε в пространстве при отображениях f и g соответственно. Если имеет место равенство
f –1(Hε) = g –1(Hε) = H̃
и для каждой точки x, принадлежащей множеству H̃, имеет место равенство f (x) = g(x), то мы считаем, что отображения f и g совпадают на Hε.
Для доказательства того, что совпадающие на Hε отображения гомотопны между собой, построим такую деформацию φt отображения сферы S l в себя, что φ0 — тождественное отображение сферы S l на себя, а φ1 отображает весь шар Hε на S l и дополнение к нему в точку q. Деформацию φt опишем на одном определённом меридиане, идущем из северного полюса p сферы S l в южный полюс q. Пусть этот меридиан пересекает границу шара Hε в точке a0. Заставим теперь точку a0, равномерно двигаться из положения a0 по меридиану в южный полюс q так, чтобы она прошла этот путь за единицу времени. Одновременно будем растягивать равномерно отрезок [p, a0] так, чтобы он покрыл весь меридиан [p, q], а отрезок [a0, q] сжимать так, чтобы он в конце времени сжался в точку q. Определив эту деформацию на каждом меридиане, получим нужную нам деформацию φt. Если отображения f и g совпадают на Hε, то отображения φt(f) и φt(g) при t=0 совпадают соответственно с f и g, а при t=1 совпадают между собой. Таким образом, отображения f и g гомотопны между собой, и наше утверждение доказано.
Локализация даёт возможность перейти к дифференциальному описанию отображений. Для этого будем рассматривать лишь аналитические отображения сферы Sk+l на сферу S l. Это возможно, так как каждое непрерывное отображение можно аппроксимировать гомотопически эквивалентным ему аналитическим отображением. Теперь точку p можно выбрать так, что в каждой точке x из f–1(p) функциональная матрица отображения f имеет максимальный ранг, равный l. Возьмем в точке x площадку Nx, ортогональную к Mk = f–1(p). Площадка эта отображением f переводится в окрестность точки p взаимно аналитически с невырожденным определителем. Пусть ň1…, ňl — ортонормальная система векторов в точке p сферы S l. Прообраз вектора ňi на площадке Nx обозначим через ňl(x). Таким образом, в каждой точке многообразия Mk задана система линейно независимых векторов ň1(x)…, ňl(x) ортогональных к Mk. Если два отображения f и g таковы, что соответствующие им многообразия Mk совпадают и системы линейно независимых векторов ň1(x)…, ňl(x) также совпадают, то на достаточно малой окрестности Hε эти два отображения f и g близки друг другу по величинам второго порядка и, следовательно, могут быть переведены друг в друга. Отсюда следует, что отображения f и g гомотопны между собой. Ортонормируем теперь систему векторов ň1(x)…, ňl(x) и обозначим полученную в результате этого систему векторов через n1(x)…, nl(x). Многообразие Mk стало оснащённым. Именно, в каждой его точке x задана нормальная к нему ортогональная система векторов n1(x)…, nl(x). Если для двух отображений f и g соответствующие им оснащённые многообразия Mk совпадают вместе с оснащениями, то ясно, что отображения эти гомотопически эквивалентны между собой. Таким образом, вопрос о гомотопической классификации отображений сферы