Sk+l в сферу S l сводится к классификации, с известной точки зрения, оснащённых многообразий Mk, расположенных в Sk+l. От сферы Sk+l размерности k+l легко перейти к евклидову пространству Rk+l размерности k+l и заданному в нём оснащённому многообразию Mk. Легко видеть теперь, что, если отображение f0 можно аналитически перевести в отображение f1, оснащённые многообразия M0k и M1k, соответствующие этим отображениям, в некотором смысле эквивалентны друг другу. Именно, они получаются друг из друга путём морсовских перестроек и соответствующих перестроек оснащений. Таким образом, вопрос о классификации отображений сферы M0k на сферу S l свёлся к классификации оснащённых многообразий, расположенных в Rk+l[68].
Этот переход от отображений к оснащённым многообразиям даёт возможность легко проклассифицировать отображения сферы Sk+l на сферу S l, т. е. заново получить известный результат Хопфа без особенного труда. Этот же способ дал мне возможность классифицировать отображения сфер в случае k=1, 2. До больших значений k мне продвинуться не удалось. При попытке совершить это продвижение я пришёл к понятию характеристических циклов.
Будем считать, что сфера Sk+l ориентирована. Тогда и оснащённому многообразию Mk можно приписать некоторую вполне определённую ориентацию, например, следующим образом. Выберем её так, чтобы выписанная после ортонормальной системы n1(x)…, nl(x), она давала положительную ориентацию пространства Rk+l. Считая, что сфера Sk+l ориентирована, мы можем отказаться от её индивидуализации при определении гомотопности отображений. Ведь мы определили гомотопность отображений для одной и той же сферы Sk+l. Теперь мы будем говорить о гомотопности отображений двух различных сфер S0k+l и S1k+l, если обе они ориентированы. Для этого обозначим через φ некоторое гомеоморфное отображение сферы S0k+l на сферу S1k+l, сохраняющее ориентацию. Будем считать, что отображение f0 сферы S0k+l гомотопно отображению f1 сферы S1k+l, если отображения f0 и f1φ сферы S0k+l гомотопны между собой.
Отказ от индивидуализации сферы Sk+l нужен для того, чтобы из всех отображений (k+l) — мерных ориентированных сфер в сферу S l составить аддитивную группу классов отображений.
Пусть f1, f2 — отображения сферы S1k+l и сферы S2k+l в сферу S l. В сферах S1k+l и S2k+l выберем такие точки a1 и a2, что f1(a1) = f2(a2). Вырежем из сфер S1k+l и S2k+l малые шаровые окрестности K1 и K2 точек a1 и a2. Границы S1k+l–1 и S2k+l–1 этих шаровых окрестностей будем считать ориентированными в соответствии с ориентацией самих сфер. Пусть φ — некоторое гомеоморфное отображение сферы S1k+l–1 на сферу S2k+l–1, при котором положительная ориентация первой сферы переходит в отрицательную ориентацию второй сферы. Изменим теперь отображения f1 и f2 сперва таким образом, чтобы отображения f1 и f2 сферы S1k+l–1 совпадали между собой. Выкинем теперь из сфер S1k+l и S2k+l шаровые окрестности K1 и K2. Оставшиеся части сфер склеим между собой по границам S1k+l–1 и S2k+l–1, идентифицируя точки, соответствующие друг другу при отображении φ. Полученная в результате этого склеивания из сфер S1k+l и S2k+l сфера S3k+l ориентирована и отображена в сферу S l определённым образом. Это отображение обозначим через f3. Гомотопический класс отображений, которому принадлежит отображение f3, по определению считается суммой гомотопических классов отображений f1 и f2. Таким образом, гомотопические классы отображений ориентированных сфер Sk+l в сферу S l организованы в коммутативную аддитивную группу. Для получения элемента группы, противоположного тому, который содержит класс отображения f1, достаточно изменить ориентацию сферы S1k+l на противоположную. Если M1k, M2k — оснащённые непересекающиеся многообразия, соответствующие отображениям f1 и f2, то отображению f3, соответствует оснащённое многообразие M3k, получающееся простым объединением M1k и M2k.
Дадим теперь способ построения из класса отображений сферы Sk+l в сферу S l некоторого класса отображений сферы Sk+l+1 в сферу Sl+1. Пусть Mk — некоторое оснащённое многообразие, расположенное в Rk+l. Включим пространство Rk+l в пространство Rk+l+1 и добавим к ортонормальной системе n1(x), n2(x)…, nl(x), заданной в точке x многообразия Mk, ещё один вектор nl+1(x), идущий в пространстве Rk+l+1 перпендикулярно пространству Rk+l. Так полученное оснащённое многообразие M̃k, исходящее из многообразия Mk, определяет класс отображений сферы Sk+l+1 в сферу Sl+1, который будем называть надстройкой над исходным классом.
Докажем, что при l>k каждый класс отображений (k+l+1) — мерной сферы Sk+l+1 в (l+1) — мерную сферу Sl+1 является надстройкой. Будем считать, что l>k и пусть M̃k — некоторое оснащённое многообразие, расположенное в пространстве Rk+l. Каждой паре точек (x, y) многообразия M̃k поставим в соответствие направление той прямой, которая проходит через эту пару точек. Мы не исключаем пары вида x=y. Соответствующее ей направление касательно к многообразию Mk. Многообразие всех указанных направлений обозначим через N 2k, так как размерность его равна 2k. Поскольку размерность множества всех направлений, имеющихся в пространстве Rk+l+1, равна k+l и k+l>2k, то найдётся в Rk+l+1 такое направление, что проектирование вдоль него на ортогональное к нему подпространство Rk+l многообразия M̃k не даёт особенностей. Проектирование многообразия M̃k на многообразие Mk можно осуществить в форме непрерывной деформации, в результате которой ортонормальная система, имеющаяся на M̃k, перейдёт в некоторую ортонормальную систему на многообразии Mk.
Таким образом, каждой точке x многообразия Mk соответствует ортонормальная система n1(x)…, nl+1(x). Теперь мы непрерывно продеформируем эту ортонормальную систему так, чтобы вектор nl+1(x) стал вектором n, нормальным пространству Rk+l. Координаты единичного вектора n в ортонормальной системе n1(x)…, nl+1(x) обозначим через ξ1(x)…, ξl+1(