x). Координаты вектора nl+1(x) в этой ортонормальной системе суть (0, 0…, 0, 1). Координаты ξ1(x)…, ξl+1(x) определяют точку n(x) в единичной сфере Ωl; n(x) есть отображение многообразия Mk в сферу Ωl. Поскольку l>k отображение n можно продеформировать в одну точку nl+1(x). Пусть φt(x) — эта деформация. Будем считать, что φ0(x) есть точка nl+1(x), а φ1(x) = n(x). Деформация φt(x) даёт движение точки nl+1(x) в точку n(x). Это движение вектора nl+1(x) можно распространить на движение всей ортонормальной системы.
Таким образом, мы продеформировали исходную ортонормальную систему n1(x), n2(x)…, nl+1(x), таким образом, что последний вектор её стал нормальным к подпространству Rk+l, и потому полученное нами оснащённое многообразие Mk является надстройкой.
Аналогично доказывается, что если l>k+1 и две надстройки дают гомофонически эквивалентные отображения, то исходные оснащённые многообразия также дают гомотопически эквивалентные отображения.
Итак, установлено, что при l>k оснащённое многообразие Mk, расположенное в Rk+l+1, эквивалентно надстройке Mk, расположенной в Rk+l, и что при l>k+1 эквивалентность таких двух надстроек равносильна эквивалентности оснащённых многообразий. Таким образом, группа отображений сферы Sk+l в сферу S l стабилизируется при l≥k+2. Группа отображений сферы S 2k+2 на Sk+2 является фактор-группой отображений сферы S 2k+1 на сферу Sk+1. В частности, при k=1 группа отображений сферы S 3 на сферу S 2 является свободной циклической группой, а группа отображений Sl+1 в S l при l>2 — циклическая второго порядка.
Постараюсь дать здесь объяснение причины этого явления. Пусть R2 — плоскость, лежащая в евклидовом пространстве Rl+1, M1 — единичная окружность с центром в точке O в плоскости R2. Обозначим через n10(x) единичный вектор, выходящий из точки x окружности M1, направленный перпендикулярно к ней наружу и лежащий в плоскости R2, а через n2, n3…, nl, обозначим некоторую ортонормальную систему векторов, перпендикулярных к R2 и расположенных в Rl+1. Если эти векторы, параллельно перенесённые в точку x, обозначить через n20(x)…, nl0(x), то окружность M1 с ортонормальной системой n10(x)…, nl0(x) представляет собой одномерное оснащённое многообразие. Пусть теперь n1(x), n2(x)…, nl(x) — некоторое произвольное оснащение многообразия M1. Переход от ортонормальной системы n10(x), n20(x)…, nl0(x) к системе n1(x), n2(x)…, nl(x) даётся ортогональной матрицей порядка l, которую мы обозначим через h(x); h даёт нам отображение окружности M1 в группу H1 ортогональных матриц порядка l. H2 представляет собой окружность, и мы имеем счётное число классов отображений окружности M1 в окружность H2. В случае l>2 имеются только два класса отображения окружности M1 в группу Hl. Этим и объясняется тот факт, что группа классов отображений S 3 в S 2 есть свободная циклическая, а группа отображений Sl+1 в S l при l>2 — циклическая второго порядка.
После того как я установил, что оснащённые многообразия играют важную роль в гомотопической теории, я занялся многообразиями, гладко расположенными в евклидовом пространстве. Первый вопрос, который здесь естественно возникает, заключается в следующем: при каких условиях многообразие Mk, расположенное гладко в евклидовом пространстве Rk+l, может быть оснащено? В каждой точке x многообразия Mk проведём полную нормаль Nxl к многообразию Mk в евклидовом пространстве Rk+l. В каждом отдельном евклидовом пространстве Nxl при фиксированном x, конечно, можно выбрать ортонормальную систему из l векторов. Но можно ли выбрать эти ортонормальные системы в каждом Nxl так, чтобы они непрерывно зависели от x, непосредственно не видно и, как показывают примеры, не всегда можно. Таким образом, возникла задача какого-то исследования совокупности всех нормалей Nxl в точках многообразия Mk. От нормали естественно было перейти к касательным. В каждой точке x ориентированного многообразия Mk проведём касательную к многообразию Mk плоскость Tx размерности k. Для того чтобы изучить совокупность всех нормалей Nxl, можно изучать совокупность всех касательных Tx. Для этого изучения я рассмотрел многообразие H(k, l), состоящее из всех k-мерных ориентированных плоскостей пространства Rk+1, проходящих через заданную точку О, и поставил в соответствие каждой касательной плоскости Tx плоскость Т(x) размерности k, проходящую через О и параллельную Tx. Функция Т(x), ставящая в соответствие каждой точке x многообразия Mk точку Т(x) многообразия H(k, l), даёт нам гладкое отображение T многообразия Mk. Отображение это я назвал тангенциальным, и естественно предположить, что его гомологические свойства должны в какой-то степени отражать свойства многообразия Mk. Гомологические свойства отображений одного многообразия в другое есть вещь вполне определённая, но описать эти свойства можно по-разному. Я выбрал следующий способ описания. Обозначим через n размерность многообразия H(k, l), и пусть z — некоторый цикл многообразия H(k, l) размерности (n — k+r). На многообразии T(Mk) цикл z высекает некоторый цикл, который обозначим zr, а его прообраз в многообразии Mk обозначим через zr. Класс гомологий цикла z многообразия H(k, l) однозначно определяет класс гомологий цикла z в многообразии Mk. Цикл zr я назвал r-мерным характеристическим циклом многообразия Mk, а его класс гомологий — r-мерным характеристическим классом.
Легко доказывается, что при достаточно большом l характеристический класс является инвариантом гладкого многообразия Mk, т. е. не зависит от расположения Mk в евклидовом пространстве Rk+l. Тангенциальное отображение T является естественным обобщением так называемого сферического отображения многообразия Mk, расположенного в евклидовом пространстве Rk+1. Оно отображает многообразие Mk в сферу Sk. Сферические отображения многообразия рассматриваются уже давно как в дифференциальной геометрии, так и в топологии. Известно было, что степень сферического отображения многообразия Mk на сферу Sk является топологическим инвариантом многообразия Mk, а именно, равна половине его эйлеровой характеристики. В дифференциальной геометрии из сферического отображения получается гауссова кривизна многообразия Mk, а её интеграл по всему многообразию Mk называется интегральной кривизной. Таким образом, данная мной конструкция была далеко идущим обобщением известной конструкции.
Введённые мной характеристические классы гладких многообразий подверглись в дальнейшем широкому изучению другими математиками. Я же сделал с ними довольно мало. Первая попытка заключалась в том, чтобы доказать топологическую инвариантность характеристических классов, но это мне не удалось. Задача была решена много позже С. П. Новиковым. Я же сам дал для характеристических классов другие определения при помощи систем векторных полей, заданных на многообразии