Mk и при помощи риманова тензора многообразия Mk, пользуясь дифференциальной геометрией.
Кроме описанных, мной были получены некоторые результаты по классификации отображений комплекса Kl+r размерности l+r в сферу Sl[70] и при изучении таких отображений был введен квадрат Ñ-цикла размерности l, представляющий собой Ñ-цикл размерности l+2. Позже американский математик Стинрод дал более общее определение квадрата Ñ-цикла, чем я. Кроме того, мной были получены некоторые результаты по классификации отображений сферы в комплексы[71].
7. Pontryagin L. S. The general topological theorem of duality for closed sets. — Ann. Math., 1934, vol. 35, № 4, p. 904–914.
13. Pontriaguine L. Sur le transformations des spheres en spheres. — In: C. r. congr. intern. math. Oslo, 1936, 1937, vol. 2, p. 140.
Оптимизация и дифференциальные игры
Вопрос о том, чем следует заниматься, стоит для математиков, быть может, острее, чем для специалистов в других областях знания. Математика, возникшая как чисто прикладная наука, и в настоящее время имеет своей основной задачей изучение окружающего нас материального мира с целью использования его для нужд человечества. В то же время она имеет свою внутреннюю логику развития, следуя которой математики создают понятия и даже целые разделы, являющиеся продуктом чисто умственной деятельности, которые никак не связаны с окружающей нас материальной действительностью и не имеют в настоящее время никаких приложений. Эти разделы зачастую обладают большой стройностью и некоторого рода красотой. Однако такого рода красота не может служить оправданием их существования. Математика не музыка, красоты которой доступны большому количеству людей. Математические красоты могут быть поняты лишь немногими специалистами. Создавая такие красоты, математики практически работают только на себя.
Невозможно, однако, утверждать, что обладающие внутренней стройностью, но лишенные приложений разделы математики не имеют права на существование. Они составляют внутреннюю ткань науки, иссечение которой могло бы привести к нарушению всего организма в целом. Кроме того, оказывается, что некоторые отделы математики, лишённые приложений в течение многих веков, позже находят эти приложения. Классическим примером служат кривые второго порядка, созданные в древности из внутренних потребностей науки и нашедшие лишь позже очень важное применение. С другой стороны, некоторые разделы математики, занимающиеся лишь внутренними проблемами, постепенно вырождаются и почти наверняка оказываются ни для чего не нужными.
В этой обстановке вопрос о выборе тематики исследований становится для математиков весьма тревожным. Я считаю, что если не все, то во всяком случае многие математики должны в своей работе обращаться к первоисточникам, то есть к приложениям математики. Это необходимо как для того, чтобы оправдать своё существование, так и для того, чтобы влить новую свежую струю в научные исследования.
Исходя из этих соображений, а также находясь под некоторым давлением руководства Математического института им. В. А. Стеклова, я и три моих сотрудника Е. Ф. Мищенко, Р. В. Гамкрелидзе и В. Г. Болтянский решили заняться поиском прикладных тем для своих исследований в теории колебаний, точнее в математическом изучении электронных приборов и в теории регулирования, которую более общо теперь разумнее назвать теорией управления. Мы заранее исключили из своего рассмотрения математические задачи, уже сформулированные техниками, а основали свой поиск на ознакомлении с техническими проблемами, устанавливая контакты с многими специалистами в области техники. При этом мы не просто стремились найти приложения математики, но старались найти новые постановки математических задач, интересные с точки зрения самой математики.
Среди многих технических задач, с которыми мы ознакомились, была следующая. Некий специалист в области авиации сказал: «Если один самолёт преследует другой самолёт, то пилот преследователя, конечно, умеет это делать, но интересно было бы иметь теорию, быть может, даже такую, которая позволяла бы осуществлять преследование при помощи автомата». Мы все понаслышке знаем, что существуют самонаводящиеся ракеты. Но ракета обладает такими преимуществами в скорости и маневренности перед самолётом, что теория, на которой основано её поведение, может быть очень грубой.
Хочу сразу обратить внимание на странность этой задачи, которая на первых порах казалась нам совершенно неприступной. В самом деле, самолёт-преследователь очевидным образом не должен лететь в то место, где в настоящее время находится убегающий самолёт, так как последний, конечно же, уйдёт с того места, где он сейчас находится. В то же время бессмысленно предполагать, что убегающий самолёт движется по прямой: он может повернуть, причём неизвестно куда.
Задача о преследовании одного самолёта другим самолётом, насколько я знаю, до сих пор не решена. Рассмотрены упрощённые модели преследования, которые составляют предмет так называемой теории дифференциальных игр. Слово «игра» указывает на то обстоятельство, что будущее поведение каждого из самолётов неизвестно: оно зависит от воли пилота. Дифференциальной эта игра называется потому, что закон движения самолёта описывается дифференциальными уравнениями.
Для того чтобы применить математику к решению какой-либо технической задачи, прежде всего надо дать её математическое описание. В данном случае мы начнём с математического описания движения самолёта. При этом, как всегда это делают математики, мы будем отвлекаться от излишней конкретности, стремясь уловить лишь главные характерные черты технической задачи, подлежащей решению. Мы будем рассматривать самолёт как точку, движущуюся в пространстве. Известно, что положение точки в пространстве определяется тремя координатами. Их мы обозначим через x1, x2, x3. Так как точка (самолёт) движется, то она имеет и некоторую скорость-вектор. Компоненты этого вектора мы обозначим через x4, x5, x6. Величины x1, x2…, x6 определяют состояние движущейся точки в данный момент времени и называются её фазовыми координатами. Для того чтобы отвлечься от излишней конкретности, мы будем рассматривать объект, состояние которого в данный момент времени определяется не шестью, а произвольным числом фазовых координат. Их мы обозначим через x1, x2…, xn. Совокупность всех этих величин вместе принято обозначать одной буквой, так что мы полагаем x = (x1, x2…, xn). Здесь x есть точка фазового пространства нашего объекта, или фазовый вектор нашего объекта. Произвольную фазовую координату объекта обозначают через xi, где i может принимать любое значение: i = 1, 2…, n. Так как состояние объекта меняется со временем, то величина xi также меняется со временем, и скорость её изменения обозначается обычно через xi′. Это есть производная величины xi по времени t. Физическая закономерность поведения объекта, как правило, заключается в том, что скорость xi′ изменения фазовой координаты xi нашего объекта однозначно определяется фазовыми координатами объекта x1, x2…, xn, что математически записывается в виде формулы
Это значит, что xi′ есть функция величин x1, x2…, xn, то есть может быть вычислена, если величины x1, x2…, xn известны. Здесь мы имеем n неизвестных величин x1, x2…, xn, которые меняются со временем, то есть являются функциями времени: xi = xi(t), и n дифференциальных уравнений, так что задачу можно решать математически, то есть получить закономерность изменения состояния объекта со временем, найти x как функцию времени: x = x(t).
При помощи уравнений вида (1) могут быть описаны весьма разнообразные объекты. Объекты могут быть не только механическими, но и другого рода, например, химический процесс может быть описан уравнениями типа (1). В этом случае массы различных веществ, входящих в реакцию, являются фазовыми координатами x1, x2…, xn нашего объекта. Такими же уравнениями может быть описан и биологический процесс, например сосуществование на острове волков, зайцев и травы. Экономические закономерности также допускают описание при помощи системы уравнений типа (1).
Приведённое здесь описание движения самолёта не содержит главного для нас элемента. В самолёте сидит пилот, который по своей воле может менять закономерность его движения, приводя в действие рули управления. Так, пилот может менять тягу двигателя, положение хвостового руля, положение закрылков. Положение каждого из элементов управления определяется некоторым числом. Все эти числа мы обозначим через