x0, y0), в состояние покоя, то есть в начало координат фазовой плоскости, за минимальное время, используя для этого управляющий параметр u. Из принципа максимума непосредственно следует, что оптимальное управление u может принимать только значения ±1. При u = +1 фазовой траекторией системы (9) является окружность с центром в точке (1, 0), а при u = –1 фазовой траекторией системы (9) является окружность с центром в точке (–1, 0). Зная, что оптимальное значение u = ±1, мы должны теперь только указать, как меняется u между этими двумя значениями в процессе движения. Из принципа максимума легко вывести, что значение u зависит лишь от положения фазовой точки на фазовой плоскости, а именно, вся фазовая плоскость разбивается на две части, в одной из которых u должно иметь значение +1, а в другой — значение –1.
Разбиение фазовой плоскости на две части осуществляется линией, начерченной на рис. 1. Она состоит из полуокружностей радиуса единица, опирающихся как на диаметры на отрезки оси абсцисс. Причём на положительной части абсциссы полуокружности обращены вниз, а на отрицательной части абсциссы полуокружности обращены вверх. Две полуокружности, примыкающие к началу координат, сами являются оптимальными траекториями, так что если начальная точка находится на одной из них, то движение в начало координат осуществляется по соответствующей полуокружности. Оказывается дальше, что если фазовая точка находится под начерченной линией раздела, то u должно иметь значение +1, а если над линией раздела, то значение u должно быть равно –1. Легко вычертить траекторию оптимального движения точки (см. рис. 1), исходя из произвольного начального положения (x0, y0). Начиная с какой-либо точки плоскости (x0, y0), движение определяется уравнением (9) с определённым значением u = ±1, причём значение это переключается на противоположное, когда соответствующая траектория доходит до линии раздела переключения. В конце концов точка попадает на одну из полуокружностей линии раздела, примыкающих к началу координат, после чего точка движется по соответствующей полуокружности к началу координат.
Рис. 1
Принцип максимума является всеобъемлющим универсальным методом для решения задач оптимизации. Он нашёл многочисленные применения в различных областях знания и оказал существенное влияние на развитие вариационного исчисления. В игровых задачах достигнуть разультатов столь общего характера нам не удалось. Ими занимается сейчас большое число математиков, среди которых следует отметить группу сотрудников Математического института им. В. А. Стеклова и школу академика Н. Н. Красовского в Свердловске. Ими достигнуты значительные результаты. Здесь я ограничусь тем, что приведу один конкретный пример задачи преследования.
В пространстве R произвольной размерности n, где n ≥ 2, рассмотрим две точки x и y, каждую из которых мы можем одновременно трактовать как вектор. Точку x будем считать преследующей точкой, а точку y — убегающей точкой. Процесс преследования считается законченным, когда x совпадает с y. Движение этих точек описывается следующими уравнениями:
Здесь u и v — векторы пространства R. В нашей задаче они являются управляющими векторами. Их можно выбирать произвольными по направлению, но они ограничены по длине, а именно, для них выполнены условия |u| ≤ ρ, |v| ≤ σ. Числа α, β, ρ, σ положительны. Таким образом, уравнение (10) описывает движение точки x с линейным трением α под действием внешней силы u, которая может быть выбрана произвольной по направлению, но не превосходит по величине числа ρ. Аналогичное верно и для точки y. Процесс преследования можно рассматривать с двух точек зрения. При первой точке зрения мы отождествляем себя с преследователем. Наша задача заключается тогда в завершении преследования путём выбора надлежащего управления u. При этом в процессе преследования мы всё время наблюдаем за поведением уходящего объекта. При второй точке зрения мы отождествляем себя с убегающим объектом и наша задача состоит в том, чтобы уйти от преследования, выбирая надлежащим образом управление v. При этом мы всё время наблюдаем за преследующим нас объектом. Основной результат, имеющийся здесь, следующий.
1. Задача преследования всегда может быть решена положительно, то есть преследование завершено, если выполнены два неравенства
2. Задача убегания имеет всегда положительное решение, если выполнено неравенство σ > ρ.
Оказывается, что при решении задачи преследования в случае, когда выполнены условия (11), мы всегда имеем наилучший способ поведения преследователя, то есть имеется единственное оптимальное управление преследователя u(t), отклонение от которого неизбежно увеличивает время преследования. При этом оптимальное управление преследователя u(t) определяется постепенно с возрастанием времени t в зависимости от поведения убегающего объекта.
О математике и качестве её преподавания
Моё внимание привлекло в школьном учебнике определение вектора.
Вместо общепринятого и наглядного представления о нём как о направленном отрезке (именно такое определение, например, сохранилось и в «Политехническом словаре», М., «Советская энциклопедия», 1976, с. 71) школьников заставляют заучивать следующее: «Вектором (параллельным переносом), определяемым парой (A, B) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка M отображается на такую точку M1, что луч MM1 сонаправлен с лучом AB и расстояние |MM1 | равно расстоянию |AB|» (В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия. Учебное пособие для 9 и 10 классов средней школы. 6-е изд. М., «Просвещение», 1980, с. 42).
В этом сплетении слов разобраться нелегко, а главное — оно бесполезно, поскольку не может быть применено ни в физике, ни в механике, ни в других науках.
Что же это? Насмешка? Или неосознанная нелепость? Нет, замена в учебниках многих сравнительно простых, наглядных формулировок на громоздкие, нарочито усложнённые, оказывается, вызвана стремлением… усовершенствовать (!) преподавание математики.
Если бы приведённый мною пример был только досадным исключением, то ошибку, по-видимому, легко можно было бы устранить. Но, на мой взгляд, в подобное состояние, к сожалению, пришла вся система школьного математического образования…
Однако прежде, чем об этом говорить, целесообразно высказать предварительные замечания о самой математике. Значение её на наших глазах возрастает, своими приложениями она охватывает всё новые области познания и практики. Одновременно происходит стремительный прогресс и в ней самой. Возникнув некогда как сугубо прикладная наука и имея своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира — то есть весьма реальный материал, — в ходе своего развития математика принимала всё более абстрактную форму, которая в известной степени затушевывала её «земное» происхождение. Ведь чтобы исследовать названные формы и отношения в чистом виде, приходилось мысленно отделять их от содержания, оставляя его в стороне как нечто безразличное. На это не случайно указал Ф. Энгельс в своей гениальной работе «Анти-Дюринг».
Отвлекаясь от действительности, люди получили точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разные «a» и «b», «x» и «y», постоянные и переменные величины, а далее — дошли до продуктов «свободного творчества и воображения самого разума» — до мнимых величин. «Но совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения», — писал Энгельс (К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, с. 37). И выведение математических понятий друг из друга, кажущееся не опирающимся на определённые данные и факты, доказывает не их априорное возникновение, а лишь их рациональную связь. Нельзя не согласиться с мыслью: «Как и все другие науки, математика возникла из практических потребностей людей… Но, как и во всех других областях мышления, законы, абстрагированные из реального мира, на известной ступени развития отрываются от реального мира, противопоставляются ему как нечто самостоятельное, как явившиеся извне законы, с которыми мир должен сообразоваться… Чистая математика применяется впоследствии к миру, хотя она заимствована из этого самого мира и только выражает часть присущих ему форм связей, — и как раз только поэтому и может вообще применяться» (там же, с. 37–38).
«Воспаряя» над жизнью, над действительностью, математика в силу необходимости своего же развития непременно то и дело возвращается к своим истокам, к практике, находя в ней тот оселок, на котором она удостоверяется в действительной ценности своих теоретико-математических построений и пересматривает или утверждает свои основания, совершенствует свои подходы и методы.
Поэтому несерьёзными выглядят философствования типа, например, следующего: «Общепринято (?! — Л. П.) математику подразделять на следующие отрасли: чистую математику (или собственно математику), прикладную математику и метаматематику. В свою очередь, чистая математика подразделяется на формальную и содержательную математики». (Цитируется брошюра о «философских проблемах математики», выпущенная издательством «Знание». Не называю имени автора только потому, что брошюра вышла семь лет назад.) В математике нет «надматематических» (ведь «мета» по-гречески означает «вне», «за пределами») разделов (отраслей), равно как совершенно нелепо подразделять её на «формальную» и «содержательную». Я отнюдь не умаляю значения специализации исследовательской