ен в тюрьму, затем освобожден, но при этом ему было запрещено занимать какой бы то ни было академический пост.
Он отправился в Рим, где, к своему немалому удивлению, встретил теплый прием. Папа Григорий XIII, судя по всему, даровал ему прощение – и пенсию. Кардано был принят в Римскую коллегию врачей и написал – хотя и не опубликовал – автобиографию. В конце концов она была напечатана более чем через 60 лет после его смерти. Согласно легенде, он умер от собственной руки, поскольку предсказал дату своей смерти и профессиональная гордость требовала, чтобы предсказание сбылось.
6. Великая теорема. Пьер де Ферма
Мало кому из математиков удается сформулировать задачу, которая несколько столетий остается без решения и при этом оказывается чрезвычайно важной для областей математики, вообще не существовавших на момент ее постановки. Пьер Ферма (частица «де» была добавлена позже, когда он стал правительственным чиновником), возможно, самый известный член этого благородного собрания. Но он, строго говоря, не был математиком: Ферма получил юридическое образование и стал советником парламента в Тулузе. С другой стороны, было бы явной натяжкой назвать его математиком-любителем. Возможно, правильнее всего считать Ферма неоплачиваемым профессионалом, зарабатывавшим на жизнь юридической практикой.
Ферма почти не публиковался, возможно, потому, что нематематические обязанности практически не оставляли ему времени для подробной записи своих открытий. То, что о них известно, мы черпаем в основном из его писем к математикам и философам, таким как Пьер де Каркави, Рене Декарт, Марен Мерсенн и Блез Паскаль. Ферма знал, что такое доказательство; кстати сказать, единственное неверное утверждение в сохранившихся его бумагах (формула, которая, как он считал, всегда выдает простое число) сопровождается замечанием о том, что доказательства у него нет. Из его доказательств почти ничего не сохранилось; самое существенное из дошедшего до нас – доказательство того, что сумма двух квадратов не может быть четвертой степенью, выполненное новаторским методом, который он назвал «методом бесконечного спуска».
Ферма недаром заслужил математическую славу. Он многого добился в геометрии, разработал дифференциальные методы, ставшие предвестниками дифференциального исчисления, работал над теорией вероятностей и математикой в области физики света. Однако главным его достижением стала основополагающая работа по теории чисел. Именно в ней он изложил гипотезу, прославившую его, в том числе и среди обычной публики – отчасти благодаря документальному телефильму и книге-бестселлеру. А именно свою простую, но таинственную Великую или Последнюю (как она известна на Западе) теорему. «Последняя» – не потому, что он прохрипел ее на смертном одре, но потому, что последователи Ферма сумели в течение почти 100 лет после его кончины доказать (или опровергнуть в одном случае) все сформулированные им теоремы за одним-единственным исключением. Эта задачка последней держала оборону, ставя в тупик лучшие умы.
Среди ученых, интересовавшихся этой теоремой, был и Гаусс – один из лучших математиков в истории. Почти через 200 лет после того, как Ферма оставил на полях книги свое знаменитое замечание, Гаусс отмахнулся от Великой теоремы Ферма, объявив ее типичным представителем громадного множества утверждений о числах, которые легко угадать, но практически невозможно доказать или опровергнуть. Вообще-то во всем, что касалось математики, Гаусс обладал безупречным вкусом, эта же оценка оказалась примером редкой для него недооценки математического значения. В защиту Гаусса можно сказать, что первые три с четвертью столетия после того, как Ферма сформулировал теорему, большинство математиков придерживалось того же мнения. Ее важность выявилась лишь позже, когда были обнаружены тонкие связи этого утверждения с центральными областями математики.
Сегодня Бомон-де-Ломань – французская коммуна (административный район) в области Центральные Пиренеи на юге Франции. Этот городок был основан в 1276 г. как бастида – один из целой серии укрепленных средневековых городков в этом районе – и имел бурную историю. В период Столетней войны Бомон-де-Ломань был на время захвачен англичанами, а затем потерял 500 жителей в результате чумы. Этот католический город зажат с трех сторон протестантскими городами. Генрих III продал его будущему Генриху IV, который взял город в 1580 г.; в результате устроенной победителями резни в нем погибло около сотни жителей. Людовик XIII в начале XVII в. осадил Бомон-де-Ломань: город принял участие в бунте против короля, в результате чего в 1651 г. был подвергнут военной оккупации и обложен крупным штрафом. Затем в нем вновь разразилась чума.
Среди всех этих бурных событий незаметным прошло рождение самого знаменитого жителя этого города – Пьера Ферма, сына богатого торговца кожей Доминика и его жены Клэр (урожденной де Лонг), происходившей из семьи адвокатов. Есть некоторые сомнения относительно года его рождения (это может быть 1601 или 1607 г.), поскольку у него, возможно, был старший брат, тоже Пьер, который умер молодым. Его отец, помимо всего прочего, был вторым консулом Бомон-де-Ломани – можно сказать, что Ферма родился в весьма политизированной семье. Положение отца практически гарантирует, что Ферма вырос в родном городе, а если это так, то образование он должен был получить в местном францисканском монастыре. Поучившись некоторое время в Университете Тулузы, он отправился в Бордо, где и расцвели его математические способности. Для начала Ферма предложил не слишком уверенную реставрацию трактата On Plane Loci – утраченной работы греческого геометра Аполлония; затем, предвосхищая кое-какие ранние достижения в анализе, написал о поиске максимумов и минимумов. Его юридическая карьера с дипломом Университета Орлеана также была достаточно успешной. В 1631 г. он приобрел для себя пост советника при парламенте Тулузы, позволивший ему прибавить частицу «де» к фамилии. Ферма занимал эту должность в качестве юриста всю оставшуюся жизнь; жил при этом в Тулузе, но работал время от времени в Бомон-де-Ломани и Кастре. Первоначально он был прикреплен к нижней палате парламента, но в 1638 г. был переведен в верхнюю палату, а затем, в 1652 г., поднялся на самую вершину уголовного суда. Отчасти благодаря чуме, унесшей в 1650-е гг. многих старших чиновников, Пьер продолжал подъем по служебной лестнице. В 1653 г. промелькнуло сообщение о том, что Ферма умер от чумы, но (как и в случае Марка Твена) слухи эти оказались несколько преувеличенными. Судя по всему, Ферма, как говорится, откусывал больше, чем мог проглотить; интерес к математике сильно отвлекал его от юридических обязанностей. В одном из документов написано: «Он сильно занят, он не докладывает суду дела как следует и все время путается».
Его «Введение в изучение плоских и пространственных мест» 1629 г. стало новаторским; в нем впервые использовались координаты, позволившие связать геометрию и алгебру. Обычно эту идею приписывают Декарту и его эссе «Геометрия» 1637 г. (приложение к «Рассуждению о методе»), но на самом деле намеки на нее можно найти в гораздо более ранних произведениях, вплоть до древнегреческих. Смысл идеи заключается в использовании двух координатных осей для представления любой точки на плоскости посредством единственной пары чисел (x, y). Сегодня этот метод настолько привычен, что едва ли требует особого обсуждения.
В рассуждении «О касательных к кривым» 1679 г. Ферма находил касательные к различным кривым, то есть занимался геометрической версией дифференциального исчисления. Его метод нахождения максимума и минимума был еще одним предвестником математического анализа. В оптике он сформулировал принцип наименьшего времени: световой луч следует по тому пути, который минимизирует общее время движения. Это был один из первых шагов к вариационному исчислению – области анализа, которая занимается поиском кривых или поверхностей, минимизирующих или максимизирующих некоторую величину. К примеру, какая замкнутая поверхность фиксированного объема имеет наименьшую площадь поверхности? Ответ – сфера; именно поэтому мыльные пузыри имеют сферическую форму, ведь энергия поверхностного натяжения пропорциональна площади поверхности, а пузырь принимает форму, соответствующую минимальной энергии.
В аналогичном ключе Ферма полемизировал с Декартом по поводу закона преломления световых лучей. Декарт, раздраженный, вероятно, тем, что лавры за геометрические координаты достались оппоненту, хотя сам он считал координаты своим изобретением, отозвался критикой в адрес работы Ферма о максимумах, минимумах и касательных. Диспут получился настолько жарким, что в него в качестве арбитра оказался втянут инженер и геометр-новатор Жерар Дезарг. Когда он объявил, что прав Ферма, Декарт неохотно признал: «Если бы вы объяснили это таким образом с самого начала, я бы и возражать не стал».
Величайшее наследие Ферма относится к теории чисел. В его письмах можно найти множество вызовов для математиков. Среди них предложение доказать, что сумма двух полных кубов не может быть полным кубом; решить уравнение, получившее неудачное название «уравнение Пелля», nx2 + 1 = y2, где n – заданное натуральное число, а найти нужно натуральные числа x и y. Леонард Эйлер ошибочно приписал решение, найденное лордом Брукнером, Джону Пеллю. На самом же деле метод его решения содержится еще в трактате «Брахма-спхута-сиддханта» – «Усовершенствованное учение Брахмы» Брахмагупты, – относящемся к 628 г.
Одна из важнейших и красивейших теорем Ферма говорит о числах, которые можно выразить в виде суммы двух полных квадратов. Альберт Жерар впервые сформулировал утверждение по этой теме в работе, опубликованной посмертно в 1634 г. Ферма первым заявил, что нашел доказательство, написав об этом в письме к Мерсенну в 1640 г. Главное – решить эту задачу для простых чисел. Ответ зависит от типа простого числа в следующем смысле. Единственное четное простое число – 2. Нечетные числа представляют собой либо кратные 4 с добавлением единички, либо кратные 4 с добавлением 3 (то есть имеют вид 4