. Эту величину мы и назовем мгновенной скоростью.
Обычный способ расчета требует делить расстояние на время, за которое это расстояние было пройдено. Критики, такие как епископ Джордж Беркли, не замедлили указать, что, когда промежуток времени становится нулевым, эта дробь приобретает вид 0/0, что лишено смысла. Беркли опубликовал свои критические замечания в 1734 г. в виде памфлета под названием «Аналитик, или Обращение к неверному математику», в котором он саркастически называл Ньютоновы флюксии (мгновенные скорости) «призраками ушедших величин».
И у Ньютона, и у Лейбница были ответы на подобные возражения. Ньютон использовал физический образ интервала, стремящегося (текущего) к нулю, но никогда этого нуля на самом деле не достигающего. Пройденное расстояние тоже стремится к нулю, и средняя скорость тоже к чему-то стремится. Главное тут, говорил Ньютон, – это то, к чему она стремится. Попадать туда вовсе не обязательно. Поэтому он назвал свой метод методом «флюксий» – вещей, которые текут. Лейбниц предпочитал считать временной интервал бесконечно малым; под этим он подразумевал не какую-то фиксированную ненулевую величину, которая может быть сколь угодно малой (что не имеет логического смысла), а изменяемую ненулевую величину, которая может становиться сколь угодно малой. Его точка зрения в основном совпадает с Ньютоновой. Собственно, если учесть некоторые тонкости терминологии, это та самая точка зрения, которую используем и мы сегодня, и называется она «взятие предела». Однако потребовалось не одно столетие, чтобы во всем разобраться. Это тонкий момент. Даже сегодня студентам-математикам требуется время, чтобы привыкнуть к этим понятиям.
Возможно, епископ Беркли был недоволен основаниями математического анализа, но математики всегда готовы игнорировать философов, особенно когда эти философы запрещают им пользоваться методом, который отлично работает. Нет, главным камнем преткновения в связи с математическим анализом был не вопрос допустимости его использования, а спор о приоритете – о том, кого считать автором этого метода.
Ньютон написал свой «Метод флюксий и бесконечные ряды» в 1671 г., но публиковать не стал. В конце концов это произведение увидело свет в 1736 г. в английском переводе с латинского оригинала, сделанном Джоном Колсоном. Лейбниц опубликовал описание своего метода дифференциального исчисления в 1684 г., а интегрального исчисления – в 1686 г. Ньютон опубликовал свои «Начала» в 1687 г. Более того, хотя многие из его результатов были получены методами математического анализа, представить их Ньютон предпочел в более традиционной геометрической форме с использованием принципа, который он называл «методом предельных отношений». Вот как Ньютон определял равенство флюксий:
Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно стремятся к равенству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, нежели на любую заданную разность, будут в пределе равны[12].
Сегодняшняя формулировка понятия предела в математическом анализе эквивалентна этой формулировке, но теперь она выражена яснее. Критики Ньютона никогда не могли понять это определение.
Ньютон использовал в «Началах» геометрию вместо математического анализа, чтобы избежать путаницы в вопросах о бесконечно малых, но, поступив так, он упустил прекрасную возможность представить дифференциальное и интегральное исчисление миру. Неформально британские математики были знакомы с этими идеями, но остальной мир их практически не замечал. Поэтому, когда Лейбниц первым опубликовал работу по математическому анализу, в Британии это вызвало возмущение. Инициатором его стал шотландский математик по имени Джон Кейл, опубликовавший в «Бумагах Королевского общества» статью, в которой обвинил Лейбница в плагиате. Лейбниц прочитал эту статью в 1711 г. и потребовал опровержения, но Кейл повысил ставку, заявив, что в свое время Лейбниц получил от Ньютона два письма с изложением основных идей дифференциального исчисления. Лейбниц обратился в Королевское общество с просьбой о посредничестве, в результате чего был образован специальный комитет. Дело закончилось в пользу Ньютона – но доклад Обществу по этому вопросу был написан самим Ньютоном, а Лейбницу никто даже не предложил изложить свою точку зрения. После этого к скандалу присоединились крупнейшие математики континентальной Европы, убежденные, что к Лейбницу отнеслись несправедливо. Лейбниц прекратил препирательства с Кейлом, заявив, что отказывается спорить с идиотом. Ситуация окончательно вышла из-под контроля.
Позже историки пришли к выводу, что партия эта завершилась вничью. Ньютон и Лейбниц разработали свои методы фактически независимо. В принципе, они оба имели некоторое представление о работе друг друга, но никто из них определенно не заимствовал чужие идеи. Уже лет 100, если не больше, математики, включая Ферма и Валлиса, вокруг них кругами ходили. К несчастью, в результате этого бессмысленного спора следующие лет 100 или около того британские математики попросту игнорировали все, что делали их континентальные коллеги, – и очень жаль, поскольку именно там в это время в основном развивалась математическая физика.
При создании «Начал» Ньютон пользовался более ранними работами других ученых, в первую очередь Кеплера (его фундаментальные законы планетарного движения позволили Ньютону сформулировать собственный закон гравитации) и Галилея, который экспериментально исследовал движение падающего тела и заметил элегантные закономерности в полученных числовых данных. Он опубликовал свои открытия в 1590 г. в трактате «О движении». Это побудило Ньютона сформулировать три общих закона движения. Первое издание «Начал» вышло из печати в 1687 г.; затем последовали дальнейшие издания, с дополнениями и исправлениями. В 1747 г. Алекси Клеро написал, что эта книга «ознаменовала собой эпоху великой революции в физике». В предисловии Ньютон так объяснил главную тему своей книги:
…рациональная механика есть учение о движениях, производимых какими бы то ни было силами, и о силах, требуемых для производства каких бы то ни было движений… Поэтому и сочинение это нами предлагается как математические основания физики. Вся трудность физики, как будет видно, состоит в том, чтобы по явлениям движения распознать силы природы, а затем по этим силам объяснить остальные явления[13].
Это было дерзкое заявление, но, если посмотреть задним числом, его оптимизм был полностью оправдан. За следующее столетие первые озарения Ньютона выросли в новую научную область – математическую физику. Многие уравнения, полученные в этот период, используются до сих пор в приложении к теплу, свету, звуку, магнетизму, электричеству, гравитации, колебаниям, геофизическим явлениям и т. п. Мы вышли за пределы «классического» стиля в физике, познакомились с теорией относительности и квантовой теорией, но физика Ньютона поразительным образом сохраняет свою значимость и сегодня. А его идея описывать природу при помощи дифференциальных уравнений используется во всех областях науки, от астрономии до зоологии.
В первой книге «Начал» разбирается движение в отсутствие всякой сопротивляющейся среды – ни трения, ни сопротивления воздуха, ни гидродинамического сопротивления. Это простейший тип движения, описываемый самой красивой математикой. Начинается книга с объяснения метода предельных отношений, на котором зиждется все остальное. Как уже объяснялось, этот метод – не что иное, как математический анализ под маской геометрии. В самом начале устанавливается, что обратно-квадратичная зависимость силы притяжения эквивалентна Кеплеровым законам планетарного движения. На первый взгляд логическая эквивалентность Ньютонова закона трем законам Кеплера указывает на то, что Ньютон всего лишь переформулировал законы Кеплера и изложил их на языке сил. Но есть еще одна особенность – скорее предсказание, чем теорема. Ньютон, подобно Гуку до него, утверждает, что эти силы универсальны. Любое тело во Вселенной притягивает к себе любое другое тело. Это позволяет Ньютону сформулировать принципы, применимые ко всей Солнечной системе, и он подходит к задаче исследования системы из трех тел, движущихся под действием гравитационного притяжения.
Во второй книге разбирается движение в сопротивляющейся среде, включая и воздух. Рассматриваются гидростатика – равновесие плавающих тел – и сжимаемые жидкости. Исследование волн позволяет получить оценку скорости звука в воздухе – 1088 футов в секунду (331 м/с) – и закономерности ее изменения в зависимости от влажности. Современное значение этой скорости на уровне моря принимается равным 340 м/с. Завершается вторая книга критикой Декартовой теории образования Солнечной системы из вихрей.
Третья книга имеет подзаголовок «О системе мира»: в ней принципы, разработанные в первых двух книгах, применяются к Солнечной системе и астрономии. Приложения этих принципов поразительно подробны: неравномерности в движении Луны; движение спутников Юпитера, которых тогда было известно четыре; кометы; приливы; прецессия равноденствий; и особенно гелиоцентрическая теория, которую Ньютон сформулировал очень продуманно: «…общий центр тяжести Земли, Солнца и планет должен быть принят за центр мира… [и этот центр] или находится в покое, или же движется равномерно и прямолинейно»[14]. Оценивая отношение масс Солнца, Юпитера и Сатурна, он вычислил, что этот общий центр тяжести располагается очень близко к центру Солнца, при этом ошибка не превышает диаметр Солнца. Он был прав.
Обратно-квадратичный закон притяжения на самом деле первым заметил Ньютон. Кеплер ссылался на математическую зависимость такого типа в 1604 г., говоря о свете; он утверждал, что пучок световых лучей, расходящихся из одной точки, должен освещать сферу, площадь которой растет как квадрат ее радиуса. Если количество света сохраняется, яркость должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния. Он предложил аналогичный закон и для «тяготения», но под тяготением при этом он подразумевал гипотетическую силу, при помощи которой Солнце толкает планеты по орбитам; он был убежден, что сила эта обратно пропорциональна расстоянию. Измаил Буллиальд был с этим не согласен; он утверждал, что эта сила должна быть обратно пропорциональна квадрату расстояния.