о атмосфера может играть роль своеобразного одеяла и удерживать под собой больше тепла, чем уходит в космос.
Вдохновением для него стал эксперимент, который провел геолог и физик Орас-Бенедикт де Соссюр. Исследуя возможность использования солнечных лучей для приготовления пищи, де Соссюр обнаружил, что самым эффективным из всех предложенных им устройств является изолированный ящик, закрытый тремя слоями стекла, разделенными довольно толстыми прослойками воздуха; это устройство могло нагреваться до 110 °C как на теплых равнинах, так и высоко в холодных горах. Следовательно, в механизме нагрева значительную роль играет воздух внутри ящика и действие стекла. Фурье предположил, что атмосфера Земли могла бы, в принципе, действовать примерно тем же манером, что и солнечная печь де Соссюра. Выражение «парниковый эффект», возможно, происходит от этого предположения, но первым его использовал Нильс Экхолм в 1901 г.
В конечном итоге Фурье так и не поверил, что этот эффект и есть искомый источник дополнительного тепла отчасти потому, что ящик полностью исключал конвекцию, за счет которой тепло в атмосфере переносится на большие расстояния. Он не оценил особую роль двуокиси углерода и других «парниковых газов», которые поглощают и испускают инфракрасное излучение таким образом, что тепло попадает в ловушку. Точный механизм достаточно сложен, и аналогия с парником обманчива, поскольку парник работает благодаря тому, что удерживает теплый воздух в замкнутом пространстве.
Кроме того, Фурье разработал вариант своего уравнения для потока тепла в отдельных областях на плоскости, или в пространстве, используя то, что мы сегодня называем оператором теплопроводности, который сочетает изменения температуры в заданной точке с диффузией тепла в ее окрестности. Со временем математики поняли, как с помощью ряда Фурье можно решить тепловое уравнение для пространств любой размерности. К тому моменту стало уже ясно, что сам метод имеет гораздо более широкую сферу применения – и вовсе не в области теплопередачи, а в радиоэлектронике.
Это типичный пример единства и общности математики. Тот же метод применим к любой функции, не только к профилю распределения теплоты. Метод представляет функцию в виде линейной комбинации более простых компонент, что делает возможной обработку данных и получение информации из некоторого диапазона компонент. К примеру, один из вариантов Фурье-анализа используется для сжатия изображений в цифровых камерах – изображение шифруется в виде комбинации простых графических образов, основанных на функции косинуса, что уменьшает объем памяти, необходимый для их хранения.
Формулы, появившиеся в результате озарения, посетившего Фурье почти 200 лет назад, стали обязательным и надежным инструментом для математиков, физиков и инженеров. Периодическое поведение широко распространено в природе, и везде, где оно наблюдается, можно получить соответствующий ему ряд Фурье и посмотреть, куда он нас приведет. Обобщение метода – преобразование Фурье – применимо и к непериодическим функциям. А его дискретный аналог – быстрое преобразование Фурье – представляет собой один из наиболее широко используемых алгоритмов в прикладной математике и применяется для обработки сигналов и высокоточной арифметики в компьютерной алгебре. Ряды Фурье помогают сейсмологам разбираться в механизме землетрясений, а архитекторам – проектировать сейсмоустойчивые здания. Они помогают океанографам составлять карты океанских глубин, а нефтяным компаниям – вести геологическую разведку на нефть. Биохимики используют их для анализа структуры белков. Уравнение Блэка – Шоулза, которое трейдеры используют для оценки биржевых опционов, является близким родственником теплового уравнения. Наследие нашего повелителя теплоты почти беспредельно.
10. Невидимые подпорки. Карл Фридрих Гаусс
На дворе год 1796-й, 30 марта. Молодой Карл Фридрих Гаусс уже некоторое время пытается решить, что ему изучать: языки или математику. Он только что совершил весьма значительный прорыв, открыв при помощи алгебраических методов геометрическую конструкцию, остававшуюся незамеченной более 2000 лет, со времен Евклида. Теперь он может при помощи только традиционных геометрических инструментов – линейки и циркуля – построить правильный семнадцатиугольник. То есть многоугольник с семнадцатью сторонами, все стороны и все внутренние углы которого равны. Не приближенно построить – это просто, – а точно. Мало кому выпадает возможность открыть нечто такое, о чем никто даже не подозревал на протяжении двух тысячелетий; еще меньше людей реализуют эту возможность. Более того, несмотря на несколько заумную природу, математика этого открытия совершенно оригинальна и очень красива, хотя само по себе оно не имеет практического значения.
Тон здесь задают Евклидовы «Начала». В них приведены методы построения равностороннего треугольника, квадрата, правильных пятиугольника и шестиугольника: правильных многоугольников с тремя, четырьмя, пятью и шестью сторонами. Как насчет семиугольника? Никак. Разумеется, восьмиугольник – это несложно: чертим квадрат, вписанный в окружность, и делим его стороны пополам; затем проводим через середины сторон радиусы окружности и получаем на окружности четыре новых угла. Если у вас есть метод построения какого-то (любого) правильного многоугольника, то этот фокус позволит вам построить многоугольник с удвоенным числом сторон. Девять? Нет, Евклид об этом молчит. Десять – опять просто: удвоим пять. Одиннадцать – ничего. Двенадцать – дважды шесть, все понятно. Тринадцать, четырнадцать – ничего. Пятнадцать можно получить, совместив методы построения трех- и пятисторонних многоугольников. Шестнадцать – удваиваем восемь.
Если говорить о Евклиде, то этим все и заканчивается. Три, четыре, пять, пятнадцать и все кратные этим числам на степени двойки. Семнадцать? Безумие. Тем более если учесть, что метод Гаусса определенно указывает, что правильный многоугольник в семь, девять, одиннадцать, тринадцать и четырнадцать сторон невозможно построить при помощи линейки и циркуля. Но, безумие или нет, такой метод существует. Существует даже простая причина тому (хотя почему этот факт является причиной, понять далеко не просто). Семнадцать – простое число, которое при вычитании единицы дает шестнадцать, то есть степень двойки.
В этой формуле, осознает Гаусс, скрыт ключ к методам построения правильных многоугольников при помощи линейки и циркуля. В маленькой записной книжечке он делает запись: Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitus eiusdem geometrica in septemdecim partes etc. Приблизительно это означает: «Окружность можно разделить на семнадцать [равных] частей». Это первая запись в той книжечке. Позже к ней добавилось 145 других открытий, причем каждому из них посвящена краткая, часто непонятная непосвященному, запись.
Так языки? Или математика?
Победитель очевиден.
Гаусс родился в бедной семье. Его отец Герхард работал в Брауншвейге садовником, а позже – смотрителем каналов и каменщиком. Мать Гаусса Доротея (урожденная Бенце) была настолько неграмотной, что не записала даже даты рождения сына. Однако она вовсе не была глупа и помнила, что сын ее вошел в этот мир в среду, за восемь дней до праздника Вознесения. Что характерно, Гаусс позже воспользовался этой ограниченной информацией, чтобы определить точный день.
Недюжинный ум мальчика проявился очень быстро. Когда ему было три года, отец однажды раздавал при нем плату работникам. Внезапно маленький Карл подал голос: «Нет, папа, это неправильно, должно быть…» Пересчет показал, что малыш был прав. Осознав потенциальные способности сына, родители Гаусса предприняли серьезные усилия, чтобы помочь ему развить их. Когда Гауссу было восемь лет, учитель Бюттнер в школе задал классу арифметическую задачу. Часто говорят, что он велел детям сложить все числа от 1 до 100, но это, вероятно, упрощение. Реальная задача, скорее всего, была сложнее, но в конечном итоге требовала именно этого: сложить большое количество чисел, разделенных равными интервалами. С точки зрения учителя, у такого примера есть важное и очевидное достоинство: существует хитрый способ упростить расчет. Не раскрывайте секрета вашим ничего не подозревающим ученикам – и вы надолго, может быть на несколько часов, загрузите их объемными вычислениями, в которых они почти наверняка где-нибудь да ошибутся. Но один восьмилетка посидел за партой несколько секунд, нацарапал на своей грифельной доске одно-единственное число, а затем решительно прошагал к столу учителя и положил перед ним доску лицом вниз. «Ligget se[18]», – проговорил он своим деревенским говорком: «Вот он лежит». Никакого неуважения в этом не было, так в те времена было принято сдавать свой ответ. Другие ученики усердно считали, горка грифельных досок перед учителем медленно росла, а Бюттнер наблюдал за Гауссом, который спокойно сидел за своей партой. Когда же доски были проверены, оказалось, что из всех ответов верен только ответ Гаусса.
Но предположим, что задача действительно была 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100. Какой хитрый прием можно здесь использовать? Ну, для начала нужно обладать достаточным воображением, чтобы понять, что такой прием существует. Затем его нужно найти. Этот же прием работает и для более сложных примеров такого рода. Считается, что Гаусс мысленно сгруппировал числа по парам: одно из начала списка, другое из конца. Тогда
1 + 100 = 101,
2 + 99 = 101,
3 + 98 = 101,
и дальше закономерность сохраняется (поскольку в начале списка числа увеличиваются каждый раз на единицу, а в конце при обратном порядке на столько же уменьшаются, компенсируя прибавление) до последней суммы
50 + 51 = 101.
Таких пар 50, каждая дает в сумме 101, так что суммарный итог составит 50 × 101 = 5050.