Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков — страница 24 из 63

* * *

К этому моменту Гаусс уже прочно утвердился в роли лидера немецкой – а значит, и мировой – математики. Его мнение ценилось и всюду встречало уважение; нескольких слов похвалы или критики из его уст было достаточно, чтобы кардинальным образом повлиять на чью-нибудь карьеру. В целом он не злоупотреблял своим влиянием и много делал для поощрения молодых математиков, однако его взгляды были очень консервативными. Гаусс сознательно избегал любых вопросов, которые могли вызвать споры и противоречия; он прорабатывал их для собственного удовольствия, но не публиковал. Иногда такое сочетание приводило к несправедливости. Самый вопиющий пример такого рода связан с неевклидовой геометрией, но эту историю я отложу до следующей главы.

Гаусс оставил после себя широкий спектр работ в самых разных областях математики. Он дал первое строгое доказательство Основной теоремы алгебры о том, что любое полиномиальное уравнение имеет решения в комплексных числах. Он дал строгое определение комплексных чисел как пар действительных чисел, с которыми можно проводить определенные операции. Он доказал фундаментальную теорему комплексного анализа, известную как теорема Коши, потому что Огюстен-Луи Коши не только доказал ее независимо, но и опубликовал доказательство. В действительном анализе можно проинтегрировать некоторую функцию на определенном интервале и получить при этом площадь под соответствующей кривой. В комплексном анализе функцию можно проинтегрировать вдоль некоторой кривой на комплексной плоскости; называется такой интеграл интегралом по контуру. Гаусс и Коши доказали, что если начальные и конечные точки двух контуров совпадают, то значение интеграла по тому и другому контуру зависит только от этих точек, при условии что функция не принимает бесконечных значений ни в какой точке внутри замкнутой кривой, полученной в результате объединения двух контуров. Этот простой результат имеет глубокие следствия для соотношения между комплексной функцией и ее сингулярностями – точками, в которых она принимает бесконечные значения.

Гаусс сделал первые шаги к топологии и ввел понятие коэффициента зацепления – топологического свойства, которое часто можно использовать для доказательства того, что две сцепленные кривые невозможно расцепить при помощи непрерывной деформации. Эту концепцию позже обобщил для более высоких размерностей Пуанкаре (глава 18). Кроме того, это был первый шаг к созданию теории топологии узлов – темы, о которой Гаусс тоже размышлял и которая сегодня имеет свои приложения в квантовой теории поля и строении ДНК-молекулы.

* * *

Как директор Гёттингенской обсерватории Гаусс вынужден был посвящать много времени строительству новой обсерватории, которое завершилось в 1816 г. Не пренебрегал он и математикой: публиковал работы по бесконечным рядам и гипергеометрической функции, статью по численному анализу, кое-какие статистические идеи и работу «Теория притяжения однородного эллипсоида» о гравитационном притяжении сплошного однородного эллипсоида – лучшей аппроксимации для формы планеты, чем шар. В 1818 г. ему было поручено провести геодезическую съемку Ганновера, доработав при этом существующие методики съемки. К 1820-м гг. Гаусс заинтересовался измерением формы Земли. Ранее он доказал теорему, которую назвал Theorema Egregium (Замечательная теорема). Она характеризует форму поверхности независимо от окружающего ее пространства. За эту теорему и за проведенную геодезическую съемку в 1822 г. он был удостоен Копенгагенской премии.

В это время в семейной жизни Гаусса начался сложный период. Его мать постоянно болела, и он перевез ее к себе и поселил в своем доме. Ему предлагали пост в Берлине, и жена хотела, чтобы он согласился на этот пост, но Гаусс не хотел покидать Гёттинген. Затем, в 1831 г., его жена умерла. Побороть горе ему помог приезд физика Вильгельма Вебера. Гаусс был знаком с Вебером уже несколько лет, и они вместе работали над исследованием магнитного поля Земли. Гаусс написал на эту тему три значительные работы, изложил в них фундаментальные результаты в физике магнетизма и определил при помощи своей теории местоположение Южного магнитного полюса. Вместе с Вебером он открыл то, что мы сегодня называем законами Кирхгофа для электрических цепей. Они также построили один из первых работающих электрических телеграфов, способный посылать сообщения более чем на километр.

Когда Вебер покинул Гёттинген, математическая продуктивность Гаусса пошла на спад. Он перенес свою деятельность в финансовый сектор, организовав Вдовий фонд Гёттингенского университета. Опыт, полученный в этом деле, он употребил с пользой – и сделал себе состояние, вкладывая деньги в облигации различных компаний. Тем не менее он продолжал консультировать двух докторантов, Моритца Кантора и Ричарда Дедекинда. Последний позже описал ту спокойную и четкую манеру, в которой Гаусс вел исследовательские дискуссии; сначала участники вместе вырабатывали базовые принципы, затем он формулировал их и записывал на небольшой доске своим элегантным почерком.

Умер Гаусс очень спокойно, во сне, в 1855 г.

11. Меняя правила. Николай Иванович Лобачевский


На протяжении двух с лишним тысяч лет «Начала» Евклида считались совершенным образцом логически выстроенного научного трактата. Начав с нескольких простых допущений, каждое из которых было сформулировано явно, Евклид постепенно, шаг за шагом, выстроил всю сложную конструкцию геометрии. Он начал с геометрии плоскости, а затем перешел к трехмерной геометрии. Логика Евклида была настолько убедительной, что его геометрия рассматривалась не просто как удобное идеализированное математическое представление видимой структуры физического пространства, но как реальное его описание. За исключением сферической геометрии – геометрии сферической поверхности, которая широко используется в навигации как хорошая аппроксимация формы Земли, – среди математиков и других ученых царило мнение о том, что Евклидова геометрия – единственная возможная геометрия и потому именно она определяет структуру физического пространства. Сферическая геометрия – это не другой тип геометрии; это та же самая геометрия, ограниченная пределами сферы, погруженной в Евклидово пространство. Точно так же, как плоская геометрия – это геометрия плоскости в Евклидовом пространстве.

Вся геометрия Евклидова, другой не бывает.

Одним из первых заподозрил, что это чепуха, именно Гаусс, но он, как обычно, не спешил публиковать результаты, считая, что такая публикация разворошит муравейник. Наиболее вероятной реакцией на подобное заявление стали бы непонимающие взгляды и обвинения – и хорошо если в невежестве, а не в безумии. И вообще, осмотрительный первопроходец выбирает те районы джунглей, где никто не будет выкрикивать ему вслед оскорбления с верхушек деревьев.

Николай Иванович Лобачевский оказался более храбрым – а может быть, более безрассудным или более наивным, – чем Гаусс. Вероятно, и то, и другое, и третье. Разработав геометрию, альтернативную Евклидовой, столь же логичную, как и ее знаменитая предшественница, со своей замечательной внутренней красотой, он понял ее значимость и изложил свои мысли в книге «Геометрия», работа над которой была завершена в 1823 г. В 1826 г. он обратился в физико-математическое отделение Казанского университета с просьбой разрешить ему прочитать лекцию по этой теме, и в конечном итоге статья увидела свет в малоизвестном журнале «Казанский вестник». Он также представил статью в престижную Санкт-Петербургскую академию наук, но Михаил Остроградский, специалист по прикладной математике, отверг ее. В 1855 г. Лобачевский, ослепший к тому времени, продиктовал новый текст по неевклидовой геометрии, озаглавленный «Пангеометрия». Сама же «Геометрия» в первоначальном виде была издана в 1909 г., через много лет после смерти ученого.

Замечательные открытия Лобачевского, наряду с открытиями еще более несправедливо отвергнутого математика Яноша Бойяи, сегодня признаны началом гигантской революции в представлениях человечества о геометрии и природе физического пространства. Но такова вечная судьба первопроходцев – не встречать понимания и подвергаться гонениям. Идеи, которые должны были бы, в принципе, привлекать всеобщее внимание своей оригинальностью, обычно сразу же объявляют чепухой, а их создатели нигде не встречают понимания. У них гораздо больше шансов встретить враждебность – вспомните хотя бы теорию эволюции и изменения климата. Мне иногда кажется, что род человеческий недостоин своих великих мыслителей. Когда они пытаются показать нам звезды, предрассудки и недостаток воображения тянут нас всех назад, в грязь.

* * *

В данном случае человечество было едино в своем убеждении: геометрия должна быть Евклидовой. Философы, такие как Иммануил Кант, добирались до невероятных глубин интеллекта, чтобы объяснить, почему это неизбежно. Это убеждение было основано на давней традиции, подкрепленной трудами многих поколений школьников, принужденных осваивать мудреные аргументы Евклида; эти уроки всегда служили своеобразной проверкой памяти. Люди по природе своей склонны ценить знания, которые достаются большим трудом: если геометрия Евклида не есть геометрия реального пространства, то все эти усилия, получается, были потрачены напрасно. Другой причиной была соблазнительная мысль, которую с тех пор окрестили «аргументом к невероятности». Ну конечно, единственно возможная геометрия – Евклидова. Какая же еще?

На риторические вопросы иногда даются риторические ответы, и этот конкретный вопрос, воспринятый всерьез, завел математиков в глухие интеллектуальные дебри. Первоначальной мотивацией служила одна из особенностей трактата «Начала» Евклида, в котором обнаружился недочет. Не ошибка, а всего лишь нечто, казавшееся недостаточно элегантным и в каком-то смысле лишним. Евклид организовал свое изложение геометрии последовательно, в логическом порядке, а начал с простых допущений, которые были сформулированы явно и не доказывались. Все остальное затем выводилось логически из этих допущений, шаг за шагом. По большей части допущения эти были просты и разумны: «все прямые углы равны между собой»