Фердинанд Швейкарт исследовал «астральную геометрию», развивая случай с острыми углами из работы Саккери. Он отослал рукопись Гауссу, но так и не опубликовал ее. Он посоветовал своему племяннику Францу Тауринусу продолжить эту работу, и в 1825 г. Тауринус опубликовал «Теорию параллельных прямых». В его «Первых элементах геометрии» 1826 г. утверждается, что случай тупых углов тоже приводит к разумной неевклидовой «логарифмически-сферической» геометрии. Работа не привлекла никакого внимания, и автор в отчаянии сжег оставшиеся экземпляры. Один из учеников Гаусса Фридрих Вахтер тоже писал про аксиому о параллельных – и тоже не был замечен.
Чтобы дополнительно запутать всю эту историю, Гаусс первым, еще в 1800 г., понял, что проблема аксиомы о параллельных связана не с реальным пространством, а с внутренней логикой Евклидовой геометрии. Линии, начерченные по линейке на листе бумаги, не в состоянии прояснить ответ. Может быть, если бы вы взяли достаточно большой лист бумаги, они встретились бы через миллион километров. А может быть, если вы построите множество точек, равноудаленных от какой-то определенной прямой, то результирующая линия окажется не прямой. Разбираясь с этой возможностью, Гаусс, вполне может быть, надеялся, подобно Саккери, получить в конечном итоге противоречие. Вместо этого он получил растущее число элегантных, убедительных, взаимно непротиворечивых теорем и к 1817 г. был убежден в возможности логически непротиворечивых геометрий, отличных от Евклидовой. Но он ничего не публиковал на эту тему, заметив в одном письме 1829 г., что «может пройти очень долгое время, прежде чем я опубликую свои исследования по этому вопросу: мало того, этого может и не произойти при моей жизни, ибо я опасаюсь “криков невежд”».
Вольфганг Бойяи, будучи старым другом Гаусса, написал великому математику с просьбой прокомментировать (положительно, как он надеялся) эпохальное исследование сына. Ответ Гаусса разрушил его надежды:
Похвалить [работу Яноша] значило бы похвалить самого себя. В самом деле, все содержание его работы, путь, выбранный вашим сыном, результаты, к которым он пришел, совпадают почти полностью с размышлениями, занимавшими отчасти мой разум последние 30 или 35 лет. Поэтому я в нерешительности. Если говорить о моей собственной работе, из которой я до настоящего момента мало что предал бумаге, то моим намерением было не разрешить ее публикацию при моей жизни… Поэтому для меня приятным сюрпризом стало то, что я избавлен от этой проблемы, и я очень рад, что именно сын моего старого друга делает этот шаг, обгоняя меня, столь замечательным образом.
Все очень хорошо, но совершенно несправедливо, ведь Гаусс ничего по этому вопросу не публиковал. Конечно, отозваться с похвалой о радикальных идеях Яноша значило бы навлечь на свою голову «крики невежд». Похвалить в частном порядке, приватно, значило уклониться от ответа – и Бойяи-старший, и Гаусс это прекрасно понимали.
Лобачевский не знал, что по крайней мере два математика – Гаусс и Бойяи – уже занимались этой проблемой. Аксиома о параллельных подразумевает существование единственной прямой, параллельной к заданной и проходящей через заданную точку, и для начала он рассмотрел возможность того, что это утверждение ошибочно. Лобачевский заменил его утверждением о существовании множества таких прямых, чья «параллельность» означала, что прямые «не пересекаются, как бы далеко их ни продолжили». Он подробно проработал следствия из такого допущения. Он не доказал, что его геометрическая система логически непротиворечива, но не сумел и привести рассуждения к какому-нибудь противоречию; более того, убедился, что никакого противоречия здесь возникнуть не может. Мы сегодня называем его систему гиперболической геометрией, и она соответствует случаю острых углов Саккери. Тупые углы приводят к эллиптической геометрии, очень похожей на сферическую. Бойяи исследовал оба случая, тогда как Лобачевский ограничился только гиперболическим вариантом.
Потребовалось немало времени, чтобы математики осознали правомерность неевклидовой геометрии и постигли ее значение. Процесс признания начался с выхода из печати французского перевода работы Лобачевского, сделанного Жюлем Оуэлем в 1866 г., через 10 лет после смерти автора. В глаза пытливому читателю бросалась одна важная вещь: отсутствие доказательства того, что отрицание аксиомы о параллельных никогда не приведет к противоречию. Понимание пришло несколько позже: на самом деле существует три непротиворечивые геометрии, удовлетворяющие всем остальным аксиомам Евклида. Во-первых, это сама Евклидова геометрия; во-вторых, это эллиптическая геометрия, где параллельные прямые попросту не существуют; и в-третьих, это гиперболическая геометрия, где параллельные прямые существуют, но не единственны.
Доказательство непротиворечивости оказалось проще, чем можно было ожидать. Неевклидова геометрия может быть реализована как естественная геометрия поверхности постоянной кривизны: положительной для эллиптической геометрии, отрицательной – для гиперболической. Евклидова геометрия представляет собой переходный случай нулевой кривизны. Здесь «прямая» интерпретируется в «геодезическом» смысле, как кратчайшее расстояние между двумя точками. В такой интерпретации все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных, могут быть доказаны при помощи Евклидовой геометрии. Если бы в эллиптической или гиперболической геометрии имелась хоть одна логическая нестыковка, ее можно было бы непосредственно перевести в соответствующую логическую нестыковку в Евклидовой геометрии поверхностей. Но если Евклидова геометрия непротиворечива, то непротиворечивы и эллиптическая, и гиперболическая геометрии.
В 1868 г. Эудженио Бельтрами предложил конкретную модель гиперболической геометрии: внутренняя геометрия поверхности, известной как псевдосфера и имеющей постоянную отрицательную кривизну. Он интерпретировал этот результат как наглядное подтверждение того, что на самом деле гиперболическая геометрия не есть нечто новое; это просто Евклидова геометрия, приспособленная к соответствующей поверхности. При этом он упустил из виду более глубокий логический вывод: эта модель доказывает непротиворечивость гиперболической геометрии, так что аксиома о параллельных не может быть выведена из других аксиом Евклида. Оуэль понял это в 1870 г., когда перевел статью Бельтрами на французский.
Подобрать модель для эллиптической геометрии было проще. По существу, это геометрия больших окружностей на сфере, с одной оговоркой. Большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, а не в одной точке, и потому не удовлетворяют остальным аксиомам Евклида. Чтобы исправить ситуацию, достаточно переопределить «точку» как «пару диаметрально противоположных точек» и рассматривать большую окружность как пару диаметрально противоположных полуокружностей. Это пространство – формально сфера с попарно отождествленными противоположными точками – обладает постоянной положительной кривизной, унаследованной от сферы.
Тем временем неевклидова геометрия начала потихоньку появляться и в других областях математики, в первую очередь в комплексном анализе, где она связана с преобразованием Мёбиуса, отображающим окружности (и прямые) на окружности (и прямые). Вейерштрасс прочел лекцию на эту тему в 1870 г. Клейн, двигавшийся в том же направлении, уловил суть и обсудил эту идею с Софусом Ли. В 1872 г. он составил важный документ – Эрлангенскую программу, в которой определил геометрию как науку об инвариантах групп преобразований. Такой подход объединил почти все варианты, на которые успела разделиться к тому времени геометрия; основным исключением из этого перечня стала Риманова геометрия для поверхностей непостоянной кривизны, где подходящих групп преобразований просто нет. Пуанкаре зашел еще дальше, предложив, в частности, собственную модель гиперболической геометрии. Пространство в ней представляет собой внутренность круга, а «прямые» линии – дуги окружностей, подходящих к границе круга под прямыми углами.
Позже гиперболическая геометрия стала одним из стимулов к появлению Римановой теории искривленных пространств любой размерности (многообразий), на которой построена теория гравитации Эйнштейна (глава 15). В число ее приложений в современной математике входят комплексный анализ, специальная теория относительности, комбинаторная теория групп и гипотеза (теперь уже теорема) о геометризации Тёрстона в топологии трехмерных многообразий (глава 25).
12. Радикалы и революционеры. Эварист Галуа
4 июня 1832 г. французская газета Le Precursor сообщила о сенсационном, хотя и ни в коем случае не уникальном в своем роде, событии:
Париж, 1 июня. Вчера прискорбная дуэль лишила точные науки молодого человека, который подавал величайшие надежды; в последнее время, однако, его прославленная ранняя зрелость отошла в тень под влиянием его политической деятельности. Молодой Эварист Галуа… дрался с одним из своих старых друзей… не менее известным в политических кругах. Говорят, что причиной схватки стала любовь. В качестве оружия был выбран пистолет, но, поскольку из-за старой дружбы противники были не в состоянии смотреть друг на друга, решать судьбу свою они доверили слепой судьбе. Стреляли они практически в упор; у каждого был пистолет, но лишь один пистолет был заряжен. Галуа был прошит пулей своего противника насквозь; его отвезли в больницу Кошен, где он и умер примерно через два часа. Ему было 22 года. Его противник L. D. чуть моложе.
Ночь перед дуэлью Галуа посвятил краткому изложению на бумаге своих математических исследований, основная часть которых была сосредоточена на использовании особых наборов перестановок, которые он называл «группами», для определения того, может ли некоторое алгебраическое уравнение быть решено в формульном виде. Он описал также связь этой идеи с особыми функциями, известными как эллиптические интегралы. Из результатов его работы прямо следует, что не существует алгебраической формулы для решения обобщенного уравнения пятой степени – вопрос, ставивший математиков в тупик не одно столетие, прежде чем Паоло Руффини опубликовал почти полное, но ужасно длинное доказательство, а Нильс Хенрик Абель получил доказательство попроще.