Попросите Якоби или Гаусса публично высказать свое мнение не в том смысле, верно это или нет, а в смысле важности этих теорем. Позже найдутся, надеюсь, какие-то люди, которые поймут, как это полезно, и разберутся во всей этой неразберихе.
К счастью для математики, такие люди нашлись. Первым из тех, кто по достоинству оценил достижения Галуа, был Жозеф-Луи Лиувиль. В 1843 г. Лиувиль выступил ровно перед теми же людьми, которые умудрились потерять или отвергнуть три рукопись Галуа. «Я надеюсь заинтересовать Академию, – начал он, – объявлением о том, что среди бумаг Эвариста Галуа я обнаружил решение, столь же точное, сколь и глубокое, следующей красивой задачи: существует ли решение [некоторого уравнения] в радикалах». Вскоре Якоби тоже прочел бумаги Галуа и, как Галуа и надеялся, понял их важность. К 1856 г. теорию Галуа преподавали на аспирантском уровне и во Франции, и в Германии. А в 1909 г. Жюль Таннери, директор Нормальной школы, открыл памятник Галуа в его родном городе Бур-ля-Рене; при этом он поблагодарил мэра города за «возможность принести извинения гению Галуа от имени школы, куда он поступил без всякой охоты, где не встретил понимания и откуда был изгнан, но для которой стал в конечном итоге одним из самых ярких имен».
Итак, что же сделал Галуа для математики?
Его идеи не были абсолютно неслыханными; это вообще редко случается в математике. Как правило, математики строят свои теории на базе подсказок, намеков и предположений предшественников. Удобной отправной точкой здесь может стать Ars Magna Кардано, где были предложены решения для алгебраических уравнений третьей и четвертой степени. Сегодня мы записываем эти решения в виде формул и выражаем через коэффициенты. Ключевая особенность этих формул состоит в том, что решение в них выстраивается с использованием стандартных операций алгебры – сложения, вычитания, умножения и деления, а также квадратных и кубических корней. Естественно предположить, что решение уравнения пятой степени тоже можно выразить такой формулой, в которой, скорее всего, будут присутствовать также корни пятой степени. (Корень четвертой степени – это квадратный корень из квадратного корня, так что сам по себе он избыточен.) Многие математики (в том числе любители) искали эту неуловимую формулу. Чем выше степень, тем сложнее становятся формулы, так что можно было ожидать, что формула для уравнения пятой степени будет особенно замысловатой. Но время шло, а отыскать эту формулу никто не мог. Постепенно до ученых начало доходить, что у длинной череды неудач может быть вполне объективная причина: это была попытка отыскать в темной комнате черную кошку, которой там нет, то есть найти то, чего на свете в принципе не существует.
Сказанное не означает, что уравнение не имеет решений. Любое уравнение пятой степени имеет по крайней мере одно действительное решение – и всегда имеет ровно пять решений, если разрешить комплексные числа и правильно учесть кратные решения. Но эти решения невозможно заключить в алгебраическую формулу, в которой не используется ничего более сложного, чем радикалы.
Первое серьезное свидетельство в пользу того, что дело может обстоять именно так, появилось в 1770-е гг., когда Лагранж написал длинный трактат об алгебраических уравнениях. Вместо того чтобы просто отметить, что традиционные решения верны, он задался вопросом о том, почему эти решения вообще существуют. Какие особенности уравнения делают его разрешимым в радикалах? Он унифицировал классические методы решения для второй, третьей и четвертой степеней, соотнеся их с особыми выражениями в формулах решения, которые при перестановке решений ведут себя довольно интересно. В качестве тривиального примера заметим, что сумма решений будет одинаковой, в каком бы порядке мы их ни записали. Как и произведение. Алгебраисты-классики доказали, что любое полностью симметричное выражение, подобное этим, всегда может быть выражено через коэффициенты уравнения, без всякого использования радикалов.
Более интересным примером для кубического уравнения с решениями a1, a2, a3 является выражение
(a1 – a2) (a2 – a3) (a3 – a1).
Если мы переставим решения циклически, так что a1 → a2, a2 → a3, a3 → a1, значение этого выражения не изменится. Однако, если мы поменяем два из них местами, так что a1 → a2, a2 → a1, a3 → a3, выражение поменяет знак. То есть как бы домножится на –1, а в остальном останется неизменным. Следовательно, его квадрат полностью симметричен и должен выражаться некоторым образом через коэффициенты. Это помогает объяснить, почему в формулу Кардано для решения кубических уравнений входят квадратные корни. Другое частично симметричное выражение объясняет присутствие там кубических корней.
Развивая эту идею, Лагранж нашел общий метод решения уравнений квадратных, кубических и четвертой степени с использованием перестановочных свойств конкретных выражений в решениях. Он показал также, что этот метод не работает для уравнений пятой степени. Он приводит не к более простому уравнению, а, наоборот, к более сложному, лишь усугубляя проблему. Это не означает, что такое уравнение невозможно решить никаким иным способом, но это уже явный намек на потенциальные проблемы.
В 1799 г. Паоло Руффини, поняв намек, опубликовал двухтомную «Общую теорию уравнений». «Алгебраическое решение обобщенных уравнений степени выше четвертой, – писал он, – всегда невозможно. Вот очень важная теорема, которую, мне кажется, я в состоянии доказать (если не ошибаюсь)». В качестве источника вдохновения он сослался на исследование Лагранжа. К несчастью для Руффини, перспектива продираться через 500-страничный том, наполненный сложной алгеброй, только для того, чтобы получить в конечном итоге отрицательный результат, никому не улыбалась, и на его работу не обратили практически никакого внимания. Ведущие алгебраисты начали уже примиряться с вероятным отсутствием решения, и это, вероятно, тоже не способствовало повышенному интересу. Да и слухи о том, что в книге есть ошибки, гасили всякое желание с ней знакомиться. Руффини попробовал еще раз, с доработанным доказательством, более простым, как ему казалось, для понимания. В 1821 г. Коши все же написал автору, что его книга «всегда казалась мне достойной внимания математиков и, насколько я могу судить, полностью доказывает невозможность решения алгебраических уравнений степени выше четвертой».
Возможно, похвала Коши несколько исправила репутацию Руффини, но ему не пришлось долго этому радоваться; он умер меньше чем через год. После его смерти математики пришли к общему мнению о том, что уравнение пятой степени невозможно решить в радикалах, но статус доказательства Руффини долго еще оставался неясным. Лишь много лет спустя в нем была обнаружена небольшая ошибка. Пробел можно было залатать, еще удлинив тем самым книгу Руффини, но к тому момент Абель уже нашел гораздо более короткое и простое доказательство. Мало того, оказалось, что один из его результатов вполне в состоянии дополнить доказательство Руффини. Абель умер молодым, вероятно от туберкулеза. Такое впечатление, что уравнение пятой степени было чем-то вроде отравленной чаши для всех, кто занимался поисками его решения.
И Руффини, и Абель взяли на вооружение ключевую идею Лагранжа: важно, какие выражения сохраняют инвариантность при определенных перестановках корней. Главный вклад Галуа заключался в создании общей теории, основанной на перестановках и применимой к любым полиномиальным уравнениям. Он не просто доказал, что какие-то конкретные уравнения нерешаемы в радикалах; он задался вопросом, какие из них решаемы. Его ответ состоял в том, что набор перестановок, сохраняющих все алгебраические соотношения между корнями, – он назвал это группой уравнения – должен иметь конкретную, довольно формальную, но четко определенную структуру. Детали этой структуры объясняют, какие именно радикалы появятся в решении, если решение в радикалах существует в принципе. Отсутствие такой структуры означает, что решения в радикалах просто нет.
Задействованная здесь структура весьма сложна, хотя и естественна с точки зрения теории групп. Уравнение решаемо в радикалах в том, и только том случае, если его группа Галуа имеет серию особых подгрупп (именуемых «нормальными»), такую, что конечная подгруппа содержит всего одну перестановку и число перестановок в каждой последующей подгруппе равно числу перестановок в предыдущей, деленному на некоторое простое число. Идея доказательства состоит в том, что нужны только простые радикалы – к примеру, корень шестой степени есть квадратный корень из кубического корня, при этом числа 2 и 3 – простые, – и каждый такой радикал снижает размер соответствующей группы делением числа ее членов на соответствующее простое число.
Группа Галуа для обобщенного уравнения четвертой степени, к примеру, содержит все 24 возможные перестановки решений. Эта группа имеет нисходящую цепочку нормальных подгрупп с размерами
24 12 4 2 1
и
24/12 = 2 – простое,
12/4 = 3 – простое,
4/2 = 2 – простое,
2/1 = 2 – простое.
Следовательно, уравнение четвертого порядка решить можно, и в формуле для решения мы ожидаем встретить квадратные (следует из двоек) и кубические (следует из троек) корни, но ничего больше.
Группы для квадратных и кубических уравнений меньше по размеру и опять же имеют нисходящие цепочки нормальных подгрупп, размеры которых изменяются делением на простые числа. А что с уравнением пятой степени? У него пять решений, что дает нам 120 перестановок. Единственная цепочка нормальных подгрупп имеет размеры