неоднозначности. В действительном анализе тоже есть намеки на это явление. К примеру, каждое ненулевое положительное действительное число имеет два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Эту возможность следует иметь в виду при решении алгебраических уравнений, но справиться с этим несложно – достаточно разбить функцию с квадратным корнем на две отдельные части: с положительным квадратным корнем и с отрицательным квадратным корнем.
Та же неоднозначность свойственна и квадратному корню комплексного числа, но здесь уже недостаточно разделить его на две отдельные функции. Понятия «положительный» и «отрицательный» не имеют ясного – и полезного – значения в случае комплексных чисел, так что естественного способа разделить две эти величины просто не существует. Но есть и более глубокий момент. В случае действительных чисел, если мы будем изменять положительное число непрерывно, то его положительный квадратный корень тоже будет меняться непрерывно, как и его отрицательный квадратный корень. Более того, два этих корня всегда будут различны. Но в комплексном случае непрерывное изменение исходного числа может превратить один из его квадратных корней в другой, не прекращая при этом непрерывно их сдвигать.
Традиционный способ разобраться с этим состоял в том, чтобы разрешить функции с разрывами, но тогда вам придется все время проверять, не приближаетесь ли вы к разрыву. У Римана была идея получше: модифицировать обычную комплексную плоскость так, чтобы сделать квадратный корень однозначной функцией. Делается это таким образом: две одинаковые плоскости помещаются одна над другой и прорезаются вдоль положительной части действительной оси; затем обе щели соединяются так, чтобы верхняя плоскость переходила в нижнюю при пересечении прорези. Теперь, если интерпретировать квадратный корень с использованием этой «Римановой поверхности», он станет однозначным. Это радикальный подход. Идея в том, чтобы прекратить беспокоиться насчет того, с каким из множества возможных значений вы в данный момент имеете дело, и позволить геометрии Римановой поверхности обо всем позаботиться. И это новшество не было единственным в докторской диссертации Римана. Еще он предложил использовать для доказательства существования определенных функций идею из математической физики – принцип Дирихле. Этот принцип гласит, что функция, минимизирующая энергию, представляет собой решение уравнения в частных производных – уравнения Пуассона, – которому подчиняются гравитационные и электрические поля. Гаусс и Коши уже открыли на тот момент, что это самое уравнение возникает естественным образом в комплексном анализе в связи с дифференциальным исчислением.
Риман погрузился в академическую жизнь. Природная стеснительность сделала для него чтение лекций настоящим испытанием, но со временем он приспособился и научился находить общий язык с аудиторией. В 1857 г. он был назначен полным профессором и в том же году опубликовал еще одну крупную работу по теории абелевых интегралов – широкого обобщения эллиптических функций, обеспечившего плодородную почву для его топологических методов. Вейерштрасс тогда тоже представил статью по этой теме в Берлинскую академию, но теперь, когда вышла статья Римана, Вейерштрасс был настолько ошеломлен ее новизной и глубиной, что отозвал свою статью и никогда больше ничего не публиковал в этой области. Имейте в виду, это не помешало ему указать на трудноуловимую ошибку в использовании Риманом принципа Дирихле. Дело в том, что Риман активно использовал в своей работе функцию, которая минимизировала некоторую связанную с ней величину. Это вело к важным результатам, но Риман не привел строгого доказательства того, что такая функция в принципе существует. (Из физических соображений он был убежден, что она должна существовать, но подобные рассуждения не обладают достаточной строгостью и могут привести к ошибке.) На этом этапе математики разделились на тех, кто жаждал логической строгости и потому считал это упущение серьезным, и тех, кого убедили физические аналогии и кого больше интересовало уточнение результатов. Риман, пребывавший, естественно, во втором лагере, сказал, что даже если в его логике и есть какой-то недочет, то принцип Дирихле для него был всего лишь самым удобным способом посмотреть, что происходит, и заявленные результаты в целом верны.
В каком-то смысле это был довольно обычный спор между поборниками теоретической математики и сторонниками математической физики; та же драма регулярно разыгрывается и сегодня, будь то в связи с дельта-функцией Дирака или диаграммами Фейнмана. Обе стороны были правы в соответствии со своими собственными стандартами. Мало смысла сдерживать прогресс в физике только потому, что какая-то правдоподобная и эффективная методика не может быть обоснована с полной логической строгостью. Но верно и то, что отсутствие такого обоснования – потенциальная бомба для математиков, намекающая, что в наших представлениях по этому вопросу чего-то не хватает. Ученик Вейерштрасса Герман Шварц удовлетворил математиков, отыскав другое доказательство Римановых результатов, но физики по-прежнему предпочитали нечто более интуитивное. Со временем Гильберт разобрался с проблемой существования, доказав новый вариант принципа Дирихле, одновременно строгий и подходящий для методов Римана. А пока физики продвигались вперед, чего не смогли бы сделать, если бы слишком внимательно прислушивались к возражениям математиков. Кстати говоря, попытки математиков обосновать интуитивные результаты Римана дали массу весьма значительных результатов и концепций, которые не были бы открыты, если бы математики в этом вопросе солидаризовались с физиками. Все оказались в выигрыше.
Работа, связанная с многообразием и кривизной, помогла Гауссу сразу же получить представление об уровне таланта и мастерства Римана, но остальное математическое сообщество разобралось в ситуации лишь после того, как он опубликовал свое исследование по абелевым интегралам. Кюммер, Карл Борхардт и Вейерштрасс озвучили свое понимание, выдвинув в 1859 г. Римана на выборах в Берлинскую академию. Одним из заданий, которые ставились перед новыми членами Академии, было представление отчета о своей текущей работе, и Риман не ударил в грязь лицом. Он вновь сменил курс, и представленный им отчет был озаглавлен «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины». В этой работе он предложил гипотезу, теперь носящую его имя, – гипотезу Римана, в комплексном анализе, связанную со статистическим распределением простых чисел. В настоящее время это самая знаменитая нерешенная задача во всей математике.
Простые числа занимают в математике центральное место, но во многих отношениях они просто выводят из себя. Они обладают невероятно важными свойствами, но демонстрируют замечательное отсутствие закономерностей. Глядя на список простых чисел, выстроенных последовательно, трудно предсказать следующее простое число (исключая то, что все простые после 2 нечетные и не должны делиться на маленькие простые числа, такие как 3, 5, 7). Простые числа определены однозначно и единственным образом, но в некоторых отношениях представляются случайными. Статистические закономерности среди них, однако, имеются. Около 1793 г. Гаусс заметил эмпирически, что число простых чисел, не превосходящих произвольное заданное число x, примерно равно x/log x. Он не смог этого доказать, но гипотеза получила известность как теорема о простых числах, поскольку в те дни слово «теорема» было стандартным обозначением для недоказанных утверждений. Вспомните хотя бы Великую теорему Ферма. Когда доказательство наконец появилось, то пришло оно с совершенно неожиданного направления. Простые числа – это дискретные объекты, возникающие в теории чисел. На противоположном конце математического спектра при этом находится комплексный анализ, который имеет дело с непрерывными объектами и пользуется совершенно иными (геометрическими, аналитическими, топологическими) методами. Казалось маловероятным, что между ними может быть какая-то связь, но связь, как оказалось, имеется, и после ее выявления математика изменилась навсегда.
Открытие связующего звена между ними восходит еще к Эйлеру, который в 1837 г., включив, видимо, режим сверхчувственного восприятия формул, заметил, что для любого числа s сумма бесконечного ряда
1 + 2–s + 3–s + 4–s + …
равна произведению, по всем простым p, суммы ряда
1 + p–s + p–2s + p–3s + … = 1/(1 – p–s).
Доказать это несложно; по существу, достаточно перевести принцип единственности разложения на простые множители на язык степенных рядов. Эйлер рассматривал этот ряд для действительных чисел s, а по большей части даже для целых s. Но он имеет смысл и в том случае, когда s – комплексное число, при соблюдении некоторых технических условий, связанных со сходимостью, и применении фокуса, позволяющего расширить диапазон чисел, для которых все это определено. В новом контексте это называется дзета-функцией и записывается как ζ (z). Когда мощь комплексного анализа начала проявлять себя, было естественно исследовать ряды такого рода при помощи новых инструментов в надежде, что удастся, может быть, обнаружить доказательство теоремы о распределении простых чисел. Риман, большой специалист по комплексному анализу, просто не мог пройти мимо такой возможности.
Перспективность этого подхода впервые проявилась в 1848 г., когда Пафнутий Чебышев, воспользовавшись дзета-функцией (которая тогда еще так не называлась), сумел существенно продвинуться к доказательству теоремы о распределении простых чисел. Риман прояснил роль этой функции в краткой, но проницательной статье 1859 г. Он показал, что статистические свойства простых чисел тесно связаны с нулями дзета-функции, то есть с решениями уравнения ζ(