z) = 0. Кульминацией статьи стала формула, в которой точное число простых чисел, не превосходящих заданной величины x, приравнивалось к сумме значений бесконечного ряда, взятых в нулях дзета-функции. И практически в качестве случайного отступления Риман предположил, что все нули дзета-функции, помимо очевидных – отрицательных целых чисел, лежат на критической линии z = ½ + it.
Это предположение, окажись оно верным, имело бы множество значительных следствий. В частности, из него следует, что различные приближенные формулы с участием простых чисел на самом деле более точны, чем можно доказать в настоящее время. Вообще, диапазон тем, на которые повлияло бы доказательство гипотезы Римана, необъятен. Однако пока для этой гипотезы нет ни доказательства, ни опровержения. Есть кое-какие «экспериментальные» данные: в 1914 г. Годфри Харолд Харди доказал, что на критической линии действительно лежит бесконечное число нулей. В 2001–2005 гг. программа Себастьяна Веденивски ZetaGrid подтвердила, что первые 100 млрд нулей лежат на критической линии. Однако в этой области теории чисел подобный результат не может быть до конца убедительным, поскольку многие правдоподобные, но неверные гипотезы впервые нарушаются очень-очень далеко, на невообразимо гигантских числах. Гипотеза Римана – часть Задачи № 8 в знаменитом Гильбертовом списке 23 великих нерешенных математических задач (глава 19); она же является одной из так называемых Задач тысячелетия, отобранных Институтом Клэя в 2000 г.; объявлено, что за верное решение любой из этих задач будет выплачена премия в один миллион долларов. Вообще, гипотеза Римана – сильный претендент на звание крупнейшей нерешенной задачи во всей математике.
Риман доказал свою точную формулу для числа простых чисел при помощи, помимо прочего, анализа Фурье. Эту формулу можно рассматривать как свидетельство того, что преобразование Фурье переводит множество нулей дзета-функции в множество простых степеней и некоторое количество элементарных множителей. То есть нули дзета-функции управляют нерегулярностями простых чисел. Маркуса дю Сотоя назвать свою книгу «Музыка простых чисел» вдохновила поразительная аналогия. Анализ Фурье помогает разложить сложную звуковую волну на базовые синусоидальные компоненты. Аналогично великолепная симфония простых чисел раскладывается на отдельные «ноты», исполняемые последовательно каждым нулем дзета-функции. Громкость каждой ноты определяется величиной действительной части соответствующего нуля. Таким образом, гипотеза Римана говорит нам, что все нули звучат одинаково громко.
Озарения Римана, позволившие ему глубоко заглянуть в царство дзета-функции, дают ему право именоваться музыкантом простых чисел.
16. Кардинал бесконечных множеств. Георг Кантор
Понятие бесконечности, того, что может продолжаться вечно, без остановки, завораживала человека испокон веков. Философы, разумеется, повеселились в этой теме вволю. На протяжении последних нескольких столетий математики, в частности, широко использовали бесконечность; точнее говоря, они использовали множество различных интерпретаций бесконечности во множестве различных контекстов. Бесконечность – это не просто очень большое число. Строго говоря, это вообще не число, потому что бесконечность больше любого конкретного числа. Если бы бесконечность была числом, это означало бы, что она должна быть больше самой себя. Аристотель рассматривал бесконечность как процесс, продолжающийся неопределенно долго: до какого бы числа вы ни добрались, вы всегда сможете найти большее число. Философы называют это потенциальной бесконечностью.
Некоторые индийские религии, и среди них джайнизм, буквально очарованы большими числами. Согласно джайнскому математическому тексту «Сурья-праджняпти», некий индийский математик-визионер заявил около 400 г. до н. э., что существует множество размеров бесконечности. Звучит как мистическая чепуха, не правда ли? Если бесконечность – это самое большое, что только может существовать, то как одна бесконечность может быть больше другой? Но ближе к концу XIX в. немецкий математик Георг Кантор разработал Mengenlehre – теорию множеств – и воспользовался ею, чтобы объявить: бесконечность может быть актуальной, а не просто Аристотелевым процессом потенциальности, и вследствие этого одни бесконечности могут быть больше, чем другие.
В то время многие математики также посчитали эту идею мистической чепухой. Кантору пришлось вести бесконечные баталии с критиками, многие из которых использовали язык, который в сегодняшнем мире, вероятно, стал бы поводом для судебных исков. Он страдал от депрессии, которая еще больше усиливалась, вероятно, от тех издевок, которым он постоянно подвергался. Сегодня, однако, большинство математиков считают, что Кантор был прав. В самом деле, различие между самой маленькой бесконечностью и любой бесконечностью побольше является фундаментальным во многих областях прикладной математики, в первую очередь в теории вероятностей. А теория множеств стала логическим основанием для математики в целом. Гильберт, один из крупнейших математиков среди тех, кто рано понял обоснованность идей Кантора, сказал: «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного Кантором».
Мать Кантора, Мария Анна (урожденная Бём), была талантливым музыкантом, а его дед Франц Бём служил солистом Русского императорского оркестра. Георг вырос в музыкальной семье и стал неплохим скрипачом. Его отец, тоже Георг, занимался оптовой торговлей в Санкт-Петербурге, а позже участвовал в работе городской биржи. Его мать была католичкой, но отец – протестантом, и Георг тоже был воспитан в этой вере. Гувернер начал водить его в начальную школу, но холодные петербуржские зимы плохо сказывались на здоровье отца, и в 1856 г. семья переехала в Германию, в Висбаден, а позже во Франкфурт. Хотя всю оставшуюся жизнь Кантор провел в Германии, ближе к концу он писал, что «никогда не чувствовал себя непринужденно» там и тосковал по России своего детства.
Кантор учился в реальном училище в Дармштадте и жил там же в пансионе. В 1860 г. он окончил училище; его характеризовали как очень способного учащегося, подчеркивая успехи юноши в математике, особенно в тригонометрии. Отец хотел, чтобы Кантор стал инженером, и поэтому отправил его в Высшую коммерческую школу в том же Дармштадте. Но Георг-младший хотел изучать математику и донимал отца, пока тот не сдался. В 1862 г. Георг начал изучать математику в Политехническом институте в Цюрихе. В 1863 г., когда отец умер и оставил ему значительное наследство, Георг перевелся в Берлинский университет. Там он посещал лекции Кронекера, Кюммера и Вейерштрасса. После лета 1866 г., проведенного в Гёттингене, в 1867 г. он представил диссертацию «О неопределенных уравнениях второй степени» – тема из теории чисел.
После этого он начал работать учителем в школе для девочек, но работу над хабилитацией не оставил. После получения места в Университете Галле Георг представил диссертацию по теории чисел и получил степень доктора хабилис. Эдуард Хайне, видный математик в Галле, предложил Кантору сменить поле исследований и заняться знаменитой нерешенной задачей о рядах Фурье: доказать, что представление функции в этом виде единственно. Решить задачу пытались Дирихле, Рудольф Липшиц, Риман и сам Хайне, но никому из них это не удалось. Кантор решил задачу меньше чем за год. Он продолжал работать над тригонометрическими рядами еще некоторое время, и исследования привели его в области, которые мы сегодня рассматриваем как прототип теории множеств. Причина в том, что многие свойства рядов Фурье зависят от особенностей представляемой функции, например структуры множества точек, в которых эта функция имеет разрывы. Кантор не смог добиться прогресса в этих областях, не столкнувшись со сложными вопросами о бесконечных множествах действительных чисел.
Исследования в области оснований математики были на подъеме, и после столетий отношения к действительным числам как к бесконечным десятичным дробям математики начинали задумываться о том, что это все означает. К примеру, невозможно записать бесконечное десятичное представление числа π. Мы можем лишь установить правила, по которым его нужно искать. В 1872 г. в одной из статей о тригонометрических рядах Кантор ввел новый метод определения действительного числа как предела сходящейся последовательности рациональных чисел. В том же году Дедекинд опубликовал знаменитую статью, в которой определил действительное число в терминах «сечения», разделяющего рациональные числа на два непересекающихся подмножества, таких, что все элементы одного подмножества меньше любого из элементов другого подмножества. В ней он цитировал статью Кантора. Оба этих подхода – сходящаяся последовательность рациональных чисел и сечение Дедекинда – стандартны в базовых курсах математики и при построении множества действительных чисел из рациональных.
К 1873 г. Кантор углубился в исследования, результаты которых показали его как значительную фигуру в области теории множеств и трансфинитных (его собственный термин для бесконечных) чисел. Теория множеств с тех пор стала существенной частью любого математического курса, поскольку предоставляет удобный и гибкий язык для описания предмета. Если не углубляться в формальности, множество – это любой набор объектов: числа, треугольники, Римановы поверхности, перестановки и вообще что угодно. Множества можно комбинировать разными способами. К примеру, объединение двух множеств – это то, что получится, если соединить эти два множества в одно, а их пересечение – все то, что они имеют общего. Используя множества, мы можем определить такие базовые концепции, как функции и отношения. Мы можем построить такие системы чисел, как целые, рациональные, действительные и комплексные числа, из более простых составляющих, если привлечем к делу пустое множество, которое вообще не имеет элементов.
Трансфинитные числа – это способ расширить понятие «сколько элементов» на бесконечные множества. Кантор натолкнулся на эту идею в 1873 г., когда доказал, что рациональные числа счетны; то есть их можно по