Архимед был человеком энциклопедических знаний: астрономом, инженером, изобретателем, математиком, физиком. Вероятно, он был величайшим ученым (воспользуемся современным понятием) своего времени. Помимо значительных математических открытий Архимед сделал несколько изобретений, поражающих своим разнообразием – Архимедов винт для поднятия воды, систему для поднятия тяжестей на основе канатов и блоков (аналог современных талей), – и открыл Архимедов принцип плавания тел и закон рычага (хотя само устройство появилось намного раньше). Ему приписывают также создание еще одной военной машины – когтя. Он будто бы использовал это устройство, напоминающее подъемный кран, в битве при Сиракузах; с его помощью он поднимал вражеские корабли из воды и топил их. Авторы документального телефильма 2005 г. «Супероружие древнего мира» построили собственную версию этой машины, и она работала. В древних текстах можно найти множество других заманчивых упоминаний о теоремах и изобретениях, приписываемых Архимеду. Среди них механический вычислитель движения планет – что-то вроде знаменитого антикитерского механизма, датируемого примерно 100 г. до н. э. и найденного среди обломков кораблекрушения в 1900–1901 гг.; разгадать его назначение и принцип действия удалось лишь недавно.
Мы очень мало знаем об Архимеде. Родился он в Сиракузах – историческом городе на Сицилии, расположенном ближе к южной оконечности восточного побережья острова. Город был основан в 734 или 733 г. до н. э. греческими колонистами, по преданию, под предводительством полумифического Архия, после того как тот покинул Коринф и удалился в изгнание. Если верить Плутарху, Архий был влюблен в прекрасного юношу Актеона и, не добившись от него взаимности, попытался похитить предмет своей страсти; в ходе завязавшейся борьбы Актеон был разорван на куски. Мольбы отца юноши Мелисса, просившего о справедливости, остались без ответа, поэтому он взобрался на верхушку храма Посейдона, призвал этого бога отомстить за его сына – и бросился вниз, на скалы. После этого драматического события случились сильная засуха и голод, и местный оракул возвестил, что только возмездие может умилостивить Посейдона. Архий понял смысл послания и добровольно отправился в изгнание, чтобы избежать принесения в жертву; он отправился на Сицилию и основал Сиракузы. Позже прошлое все же настигло его, и Телеф, который мальчиком тоже какое-то время был предметом страсти Архия, убил его.
Земля была плодородна, местные жители дружелюбны, и вскоре Сиракузы стали самым процветающим и могущественным греческим городом на всем Средиземноморье. В трактате «Псаммит», или «Исчисление песчинок», Архимед говорит, что его отцом был астроном Фидий. Если верить «Сравнительным жизнеописаниям» Плутарха, то он был дальним родственником тирана Сиракуз Гиерона II. Считается, что в юности Архимед учился в египетском городе Александрия, расположенном в дельте Нила, где встречался с Кононом Самосским и Эратосфеном Киренским. Это подтверждают, в частности, утверждения Архимеда о том, что Конон был его другом; кроме того, вводные части его книг «Послание к Эратосфену о методе» и «Задача о быках» обращены к Эрастофену.
О смерти Архимеда тоже ходят легенды, в свое время мы доберемся и до них.
Математическая репутация Архимеда зиждется на книгах, которые уцелели и дошли до нас – все в более поздних копиях. «Квадратура параболы», написанная в форме письма к другу Архимеда Досифею, содержит 24 теоремы о параболах, последняя из которых дает площадь параболического сегмента, выраженную через площадь связанного с ним треугольника. Парабола вообще занимает видное место в трудах Архимеда. Это один из типов конических сечений – семейства кривых, игравшего значительную роль в греческой геометрии. Чтобы получить коническое сечение, нужно разрезать плоскостью двойной конус, образованный при соединении вершинами двух одинаковых конусов. Существует три основных типа конических сечений: эллипс – замкнутый овал, парабола – U-образная кривая и гипербола – две U-образные кривые, расположенные «спина к спине».
Работа «О равновесии плоских фигур» состоит из двух отдельных книг. В ней устанавливаются фундаментальные закономерности того, что мы сегодня называем статикой, – той области механики, где анализируются условия, при которых тело остается в покое. Дальнейшее развитие этой темы образует фундамент всего строительного искусства и дает возможность рассчитать силы, действующие на структурные элементы зданий и мостов, и гарантировать, что они действительно сохранят покой и не будут ни вспучиваться, ни рушиться.
Первая книга посвящена в основном закону рычага, который Архимед формулирует так: «Два груза находятся в равновесии на расстояниях, обратно пропорциональных их весам». Одно из следствий этого состоит в том, что длинный рычаг увеличивает малую силу. Плутарх сообщает нам, что Архимед драматически усилил это утверждение в письме к царю Гиерону: «Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю». Конечно, для этого ему потребовался бы невероятно длинный и идеально жесткий рычаг, но главный недостаток рычага состоит в том, что, хотя приложенная сила увеличивается, дальний конец рычага проходит куда меньшее расстояние, чем место приложения силы. На самом деле Архимед мог бы сдвинуть Землю на то же (крохотное-крохотное) расстояние, просто подпрыгнув на месте. Тем не менее рычаг очень эффективен, как и другое устройство (вариант рычага), также известное Архимеду, – полиспаст. Когда скептически настроенный Гиерон попросил Архимеда продемонстрировать свое изобретение, тот
…велел наполнить обычной кладью царское трехмачтовое грузовое судно, недавно с огромным трудом вытащенное на берег целою толпою людей, посадил на него большую команду матросов, а сам сел поодаль и, без всякого напряжения вытягивая конец каната, пропущенного через составной блок, придвинул к себе корабль – так медленно и ровно, точно тот плыл по морю[1].
Вторая книга посвящена в основном нахождению центра тяжести различных геометрических фигур – треугольника, параллелограмма, трапеции и сегмента параболы.
Книга «О сфере и цилиндре» содержит результаты, которыми Архимед настолько гордился, что даже велел начертать их на своей гробнице. Он доказал вполне строго, что площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади любого ее большого круга (такого, как экватор сферической Земли); что объем шара составляет две трети объема цилиндра, описанного вокруг этого шара; и что площадь любого сегмента шара, отрезанного от него плоскостью, равна площади соответствующего сегмента такого цилиндра. В своем доказательстве он использовал витиеватый метод, известный как метод исчерпывания, который первым предложил Евдокс при работе с пропорциями с участием иррациональных чисел, которые невозможно точно представить в виде дроби. В современных терминах можно сказать, что Архимед доказал: площадь поверхности сферы радиуса r равна 4πr2, а заключенный в ней объем равен 4/3πr3.
У математиков есть привычка представлять конечный результат в красиво организованном, упорядоченном виде, скрывая от глаз тот часто путаный и сумбурный процесс, в результате которого этот результат был получен. Нам повезло кое-что узнать о том, как Архимед делал свои открытия в отношении сферы, поскольку этот процесс нашел отражение в «Послании к Эратосфену о методе». Долгое время работа считалась утраченной, но в 1906 г. датский историк Йохан Гейберг обнаружил так называемый палимпсест Архимеда, содержавший ее неполный список. Палимпсест – это текст, стертый или смытый в древности с целью повторно использовать пергамент или бумагу, на которых он был написан. Около 530 г. Исидор Милетский собрал работы Архимеда в Константинополе (современный Стамбул), столице Византийской империи. В 950 г. их переписал неизвестный византийский писец; в то время в Константинополе действовала школа Льва Математика, в которой изучались работы Архимеда. После этого рукопись каким-то образом переместилась в Иерусалим, где в 1229 г. была разобрана, отмыта (не слишком хорошо), сложена пополам и заново переплетена уже в виде 177-страничной христианской литургической книги.
В 1840-е гг. на этот текст, вернувшийся к тому моменту обратно в Константинополь и находившийся в греческой православной библиотеке, наткнулся библеист Константин фон Тишендорф. Он вынул из книги один лист и поместил его в библиотеку Кембриджского университета. В 1899 г. Афанасий Пападопуло-Керамевс, составляя каталог библиотечных рукописей, частично перевел этот лист. Гейберг понял, что текст принадлежит Архимеду, и проследил судьбу книжной страницы обратно до Константинополя, где ему разрешили сфотографировать весь документ. Затем он переписал текст и издал результаты своей работы между 1910 и 1915 гг., а Томас Хит перевел текст на английский язык. После сложной цепочки событий, включая продажу на аукционе, осложненную судебной тяжбой по поводу права собственности на документ, рукопись была продана анонимному американцу за $2 млн. Новый владелец предоставил ее для исследований, так что затертый текст восстановлен с применением различных цифровых технологий обработки изображений.
Чтобы доказывать теорему методом исчерпывания, нужно заранее знать ответ, и ученые долгое время гадали, как Архимед сумел угадать правила определения площади поверхности и объема сферы. Трактат «О методе» поясняет:
Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством; однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная[2]