В Стокгольме расцвели и литературные способности Софьи Ковалевской. В соавторстве с Эдгрен-Леффлер она написала две пьесы: «Борьба за счастье» и «Как могло быть». Кроме того, она занялась крупной классической задачей механики: вращением твердого тела относительно фиксированной точки. Здесь она сделала совершенно неожиданное открытие – обнаружила новый тип решения, известный сегодня как волчок Ковалевской. Череда хитроумных академо-политических переговоров и взаимных уступок превратила ее неоплачиваемую позицию в должность экстраординарного профессора, которую через пять лет можно было перевести в категорию постоянных. Теперь ей хватало на жизнь – едва-едва, и она начала потихоньку выплачивать долги мужа. Ковалевская стала своеобразной местной знаменитостью, что побудило Берлинский университет разрешить ей посещать лекции в любом прусском университете. Софья вновь отправилась в Россию, затем в Берлин, затем вернулась в Швецию. Помимо прочего она (опять же, первой из женщин) вошла в редакционный совет журнала Acta Mathematica.
События развивались своим чередом; Эрмит убедил совет конкурса при Парижской академии выставить на конкурс задачу, которая прекрасно укладывалась в область ее интересов, и мало кто из причастных сомневался, что Ковалевская выиграет. В 1888 г. ее действительно признали победительницей за работу о вращении твердого тела. По мере того как росла репутация Софьи Ковалевской как крупного математика-исследователя, старые барьеры начинали рушиться. В 1889 г. она была назначена ординарным профессором Стокгольмского университета, а это уже хорошо оплачиваемый пожизненный пост. Она стала первой женщиной в университете Северной Европы, получившей такой пост. После многочисленных выступлений в ее защиту Ковалевская была избрана в Российскую академию наук. Чтобы ее можно было избрать, профильному комитету пришлось сначала проголосовать за изменение правил и разрешить прием в Академию женщин; через три дня после этого избрали Ковалевскую.
Софья Ковалевская написала несколько нематематических работ, включая «Русское детство», пьесы, написанные совместно с Анной-Карлоттой, и отчасти автобиографический роман «Нигилистка» (1890 г.). Она умерла от гриппа в 1891 г.
Неожиданное открытие Ковалевской – новое решение задачи о вращении твердого тела – стало серьезным вкладом в механику, науку о том, как частицы и тела ведут себя под действием сил. Типичные примеры изучаемых процессов – качание маятника, вращение волчка и орбитальное движение какой-нибудь планеты вокруг Солнца. Как мы видели в главе 7, механика взяла настоящий старт в 1687 г., когда Ньютон опубликовал свои законы движения. Второй закон Ньютона особенно важен, потому что говорит нам, как тело движется под влиянием известных сил: масса, умноженная на ускорение, равна силе. Этот закон косвенным образом определяет положение тела через скорость изменения скорости изменения положения; возникает дифференциальное уравнение «второго порядка».
Если нам повезет, мы сможем решить это уравнение, получив формулу для положения тела в любой заданный момент времени. Если так, наше уравнение интегрируемо. Многие ранние работы в механике сводятся, по существу, к поиску систем, которые моделируются интегрируемыми уравнениями. Но даже для очень простых систем это может оказаться трудной задачей. Маятник – одна из простейших механических систем, существующих на свете, и он действительно оказывается интегрируемым; но даже в этой простейшей системе точная формула решения задействует эллиптические функции.
Для начала скажем, что интегрируемые случаи были открыты методом проб и ошибок. По мере того как математики набирались опыта, они начинали выявлять кое-какие общие принципы. Самые известные из них – законы сохранения, в которых обозначены сохраняющиеся величины, то есть величины, которые не меняются в процессе движения. Самая знакомая из этих величин – энергия. При отсутствии трения полная энергия механической системы остается постоянной. Еще сохраняются импульс и момент импульса. Если сохраняющихся величин достаточно, ими можно воспользоваться, чтобы вывести решение, – и тогда система интегрируема. Исторически сложилось, что интегрируемые случаи движения твердого тела называют «волчками».
До Ковалевской было известно два интегрируемых волчка. Один из них – волчок Эйлера, твердое тело, не подверженное действию внешних закручивающих сил (моментов кручения). Второй – волчок Лагранжа, вращающийся вокруг своей оси на плоской горизонтальной поверхности с вертикально действующей силой тяжести. Лагранж открыл, что эта система интегрируема, если волчок обладает симметрией вращения. Ключевой аспект в обоих случаях – моменты инерции волчка; это говорит о том, какой момент кручения (закручивающая сила) необходим для того, чтобы увеличить угловую скорость вращения волчка вокруг заданной оси на заданную величину. У любого твердого тела имеется три особых момента инерции, которые считают определяющими. Во времена Софьи Ковалевской каждый математик, разбирающийся в механике, знал о волчках Эйлера и Лагранжа. Он знал также – или думал, что знает, – что эти волчки – единственные интегрируемые случаи, больше таких нет. Так что открытие третьего типа волчка, сделанное Ковалевской, стало для всех шоком. Более того, этот случай не полагался на симметрию – а математики уже поняли и начинали привыкать к тому, что симметрия помогает решать уравнения. Вместо этого в новом решении использовались загадочные свойства волчка, у которого один определяющий момент инерции вдвое меньше двух других. Мы теперь точно знаем, что больше интегрируемых случаев не существует.
Системы, которые не являются интегрируемыми, могут быть исследованы другими способами, к примеру при помощи численных приближений. Часто при этом системы демонстрируют детерминистический хаос: нерегулярное поведение, возникающее в результате действия неслучайных законов. Но даже сегодня физики, инженеры и математики испытывают большой интерес к интегрируемым системам: они легче для понимания и представляют собой редкие островки регулярности в океане хаоса. Исключительная природа таких случаев делает их особыми – и потому достойными подробного изучения. Волчок Ковалевской стал классикой математической физики.
18. Идеи возникали во множестве. Анри Пуанкаре
Архимеда идеи осеняли в ванне. Анри Пуанкаре они осеняли при входе в омнибус.
Пуанкаре был одним из самых изобретательных и оригинальных математиков своего времени. Кроме того, он написал несколько бестселлеров – научно-популярных книг на основе лекций, прочитанных в Парижском психологическом обществе. Пуанкаре интересовался процессом мышления у математиков и придавал особое значение подсознанию. В книге «Наука и метод» (Science and Method) он приводит пример из собственного опыта:
В течение двух недель я старался доказать, что невозможна никакая функция, которая была бы подобна тем, которым я впоследствии дал название фуксовых функций; в то время я был еще весьма далек от того, что мне было нужно. Каждый день я усаживался за свой рабочий стол, проводил за ним один-два часа, перебирал большое число комбинаций и не приходил ни к какому результату. Но однажды вечером я выпил, вопреки своему обыкновению, чашку черного кофе; я не мог заснуть; идеи возникали во множестве; мне казалось, что я чувствую, как они сталкиваются между собой, пока, наконец, две из них, как бы сцепившись друг с другом, не образовали устойчивое соединение. Наутро я установил существование класса функций Фукса, а именно тех, которые получаются из гипергеометрического ряда; мне оставалось лишь сформулировать результаты, что отняло у меня всего несколько часов[25].
Затем он описывает в некоторых подробностях собственный опыт, указывая с самого начала, что слушателям (или читателям) не обязательно понимать, что означают технические термины в его рассказе. Можно просто считать их заместителями неких продвинутых математических понятий.
Я захотел затем представить эти функции в виде частного двух рядов; это была вполне сознательная и обдуманная мысль; мною руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я задал себе вопрос: «Каковы должны быть свойства этих рядов, если они существуют?» – и я пришел без труда к образованию рядов, названных мною тета-фуксовыми функциями. В эту пору я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горным институтом. Среди дорожных перипетий я забыл о своей математической работе. По прибытии в Кутанс мы взяли омнибус, чтобы поехать в какое-то место. И вот в тот момент, когда я заносил ногу на ступеньку омнибуса, мне пришла в голову идея – хотя мои предыдущие мысли, кажется, не имели с нею ничего общего, – что те преобразования, которыми я воспользовался для определения фуксовых функций, тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Я не проверил тогда этой идеи; для этого у меня не было времени, так как, едва усевшись в омнибус, я возобновил начатый разговор, тем не менее я сразу почувствовал полную уверенность. Возвратясь в Кан, я для очистки совести сделал проверку; идея оказалась верной[26].
Рассказ продолжают еще два случая внезапного озарения.
Размышляя задним числом над этим и другими открытиями, Пуанкаре выделяет три фазы математического открытия: подготовка, инкубационный период и просветление. То есть: проведи сознательную работу, чтобы погрузиться в задачу, дойти до предела и остановись; подожди, пока подсознание все это переработает; а потом у тебя в голове вспыхнет маленькая лампочка и наступит момент озарения.
Анализ Пуанкаре, содержащийся в его лекциях, статьях и книгах, до сих пор остается одним из лучших источников информации о работе великого математического ума.
Анри Пуанкаре родился в Нанси (Франция). Его отец Леон был профессором медицины в Университете Нанси, мать звали Эжени (урожденная Лануа). Его двоюродный брат Раймон Пуанкаре стал премьер-министром, а во время Первой мировой войны был президентом Французской Республики. В раннем в