1, 22 и 23, то есть 2 в степени, соответствующей размерности фигуры. Если «ковер» увеличить вдвое, его можно разделить на три копии оригинала. Так что 2 в степени, равной размерности фигуры, должно равняться 3. Следовательно, размерность составляет ln 3/ln 2, то есть приблизительно 1,585. Более общее определение, не ограниченное самоподобными фракталами, называется размерностью Хаусдорфа – Бесиковича, а более практичный вариант – размерностью Минковского (рассчитывается путем подсчета клеток на чертеже). Размерность фрактала полезна в приложениях и представляет собой один из способов проверить фрактальную модель экспериментально. Таким образом, к примеру, удалось показать, что облака хорошо моделируются фракталами, причем размерность фотоизображения (с проекцией на плоскость проще работать, на ней проще проводить измерения) составляет примерно 1,35.
Вот еще пример иронии судьбы, который прекрасно иллюстрирует опасность поспешных и категоричных оценок в математике. В 1980 г. Мандельброт, занимаясь поисками новых приложений фрактальной геометрии, вновь взглянул на статью Жюлиа 1917 г. – ту самую, которую в свое время рекомендовал ему дядя и которую он отверг как слишком абстрактную. В ней Жюлиа и еще один математик, Пьер Фату, анализировали странное поведение комплексных функций в итерационном процессе. То есть берем некоторое число, применяем к нему функцию, получаем следующее число, применяем к нему функцию, получаем третье число и так далее, до бесконечности. Авторы сосредоточились на простейшем нетривиальном случае квадратных функций вида f(z) = z2 + c для комплексной постоянной c. Поведение данной схемы зависит от c сложным образом[33]. Жюлиа и Фату доказали несколько глубоких и трудных теорем о данном конкретном итерационном процессе, но все в символьном виде. Мандельброт же заинтересовался тем, как выглядит эта функция графически.
Расчеты оказались слишком длинными и сложными, чтобы проводить их вручную, вероятно, именно поэтому Жюлиа и Фату в свое время не исследовали геометрию процесса. Но теперь компьютеры уже начинали обретать реальную мощь, к тому же Мандельброт работал не где-нибудь, а в IBM. Так что он написал соответствующую программу для компьютера и распечатал картинку. Она получилась грязной (у принтера заканчивались чернила) и грубой, но принесла удивительное открытие. Сложная динамика Жюлиа и Фату управляется одним-единственным геометрическим объектом, и этот объект – или, точнее, его граница – является фракталом. Размерность границы равна 2, так что этот фрактал «почти заполняющий». Мы сегодня называем его множеством Мандельброта – это название предложил Адриан Дуади. Как всегда, выяснилось, что открывали его (или проходили совсем рядом) не раз; в частности, Роберт Брукс и Питер Мателски нарисовали это же множество в 1978 г. Множество Мандельброта дает сложный и красивый компьютерный рисунок и одновременно является объектом интенсивных математических исследований, принесших их авторам по крайней мере две Филдсовские медали.
Так что та самая абстрактная статья, посвященная теоретической математике, которую Мандельброт первоначально отверг, содержала, как оказалось, идею, ставшую центральной для теории фракталов – а ведь Мандельброт увлекся этой темой именно потому, что она была далека от абстракции и тесно связана с природой. Математика едина, в ней все переплетено, а абстрактное и конкретное тесно связано тонкими нитями логики. Ни одна из этих философий не может взять верх, а крупнейшие прорывы часто являются результатом использования того и другого одновременно.
25. Наизнанку. Уильям Тёрстон
Математики ничто так не любят, как поговорить с другими математиками: об их работе, в надежде уловить какую-нибудь новую идею, которая поможет разобраться с собственной текущей задачей; о новом тайском ресторанчике, который открылся на краю кампуса; о семье и общих друзьях. Как правило, они делают это, сидя небольшими группами за столиками и попивая кофе. Как однажды сказал Альфред Реньи, «математик – это машина по переработке кофе в теоремы». У него получился каламбур, поскольку слово Satz по-немецки означает и «теорема», и «(кофейная) гуща».
Такие неформальные дискуссии часто возникают и в более формальном контексте – на семинарах (это формальные лекции для специалистов), коллоквиумах (менее формальные лекции, предназначенные официально для профессионалов или студентов, в том числе работающих в других областях, хотя иногда различить их нелегко), мастерских (небольших специализированных конференциях), «песочницах» (они еще меньше и еще менее формальны) или конференциях (крупных и, возможно, более широких по охвату мероприятиях). В декабре 1971 г. Университет Калифорнии в Беркли принимал у себя семинар по динамическим системам. Системы эти тогда привлекли горячий интерес, поскольку Стивен Смейл и Владимир Арнольд с коллегами и студентами в Беркли и Москве продолжили исследования с того места, где их оставил Пуанкаре после открытия хаоса; исследователи разрабатывали новые топологические методы, позволявшие разобраться с нерешаемыми на первый взгляд старыми задачами. Динамическая система – это все, что развивается во времени по конкретным неслучайным правилам. Правилами для непрерывной динамической системы служат дифференциальные уравнения, определяющие состояние системы на крохотное мгновение вперед в зависимости от ее текущего состояния. Существует аналогичное понятие дискретной динамической системы, в которой время тикает дискретными мгновениями, 1, 2, 3, … Докладчик представил новое решение задачи, которое сводилось к тому, чтобы рассматривать лишь конечное число точек на плоскости. Он объяснил ключевой прием: как сдвинуть любое заданное число точек в новое положение, не слишком далекое от исходного, так, чтобы они не разошлись слишком далеко ни на каком этапе движения. (При этом следует выполнить еще кое-какие условия.) Эту теорему несложно было доказать для пространств трех и более измерений, но теперь, как утверждалось, было найдено доказательство для двух измерений, которое до этого искали долго и безуспешно. Из этого следовало множество интересных результатов в динамике.
В задних рядах сидел скромный молодой человек, недавний студент, похожий на хиппи, с густой бородой и длинными волосами. Он встал и довольно робко сказал: ему не кажется, что представленное доказательство неверно. Подойдя к доске, он нарисовал две картинки, на каждой из которых показал семь точек на плоскости, и начал применять методы, описанные в лекции, стремясь передвинуть точки из первой конфигурации в положение второй. Он нарисовал траектории, по которым точки должны были при этом двигаться, и они начали мешать друг другу, заставляя следующую траекторию удлиняться, чтобы обойти препятствие, и тем самым создавать еще более протяженное препятствие. По мере того как траектории на доске отрастали вновь и вновь, как головы мифической гидры, участникам становилось ясно, что студент прав. Присутствовавший в зале Деннис Салливан писал: «Я никогда не видел, чтобы такое понимание и такое творческое построение контраргумента достигались так быстро. Это лишь усилило мое изумление перед явной сложностью появившейся перед нами геометрии».
Этим студентом был Уильям Тёрстон – Билл для друзей и коллег. О нем ходят десятки похожих историй. У него было природное чутье на геометрию, особенно когда она становилась по-настоящему сложной. Развивающаяся в то время геометрия многих измерений – четырех, пяти, шести, да любого их количества, – давала широкий простор для проявления его поразительной способности переводить формальные задачи в зрительную форму и затем решать их. Он умел видеть за внешней сложностью простые фундаментальные принципы и раскрывать их. Он стал одним из ведущих топологов своего поколения и решил множество задач; кроме того, он предложил несколько собственных ключевых гипотез, устоявших даже перед его чудесным талантом. Билл Тёрстон – поистине значимая фигура современной теоретической математики, которая может служить достойным представителем этого экзотического вида.
По иронии судьбы у Тёрстона было плохое зрение. У него было врожденное косоглазие, и он не мог сфокусировать оба глаза на одном и том же близком объекте. Это мешало ему воспринимать глубину, так что он с трудом представлял форму трехмерной фигуры по ее двумерному изображению. Его мать Маргарет (урожденная Мартт) была искусной швеей и умела создавать узоры настолько сложные, что ни Тёрстон, ни его отец Пол не могли в них разобраться. Пол работал инженером-физиком в Bell Labs и любил создавать всевозможные гаджеты собственными руками. А однажды даже в собственных руках: он показал маленькому Биллу, как вскипятить воду голыми руками. (Воспользуйтесь вакуумным насосом, чтобы понизить температуру кипения воды и сделать ее чуть выше комнатной; затем суньте руки в воду, чтобы ее согреть.) Пытаясь побороть косоглазие Билла, Маргарет, когда Биллу было два года, часами рассматривала вместе с ним книги, полные цветных орнаментов. Вероятно, и любовь Тёрстона к узорам, и его мастерство уходят корнями в те ранние годы.
В раннем возрасте Билл Тёрстон получил необычное образование. Нью-Колледж во Флориде принимал небольшое число учащихся, отобранных за выдающиеся способности, и почти никак не ограничивал ни их занятия, ни даже место жительства. Иногда Тёрстон по несколько дней жил в палатке в лесу; иногда, обманув охранника, ночевал в здании школы. Через полтора года школа едва не закрылась, когда половина ее учителей одновременно решила уволиться. Его дни в Университете в Беркли текли несколько более организованно, но время тогда само по себе было бурным: студенты активно протестовали против войны во Вьетнаме. Тёрстон стал членом комитета, который пытался убедить математиков не принимать финансирование от военных. К тому моменту он был женат на Рэчел Файндли, у них родился первенец. Ребенок, как говорила Рэчел, был рожден отчасти для того, что