Частноутвердительному суждению соответствует положительный вектор, а общеотрицательному суждению — отрицательный вектор. Если обозначить: мученые, у = люди, z = смертные, то вектор (+ 0 +) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые ученые смертны» = «Некоторые х суть z», а вектор — (+ 0 —) — общеотрицательное суждение «Ни один ученый не бессмертен» = «Ни один х не есть не — z». Эти два вектора дают общеутвердительное суждение «Все ученые смертны» = «Все х суть z».
Получение логического заключения сводится к исключению термина-посредника «у» (среднего термина силлогизма). Приведем пример силлогизма, который состоит из общеутвердительных суждений:
«Все люди смертны»
«Все ученые — люди»
«Все ученые смертны»
В векторных обозначениях приведенный выше силлогизм может быть записан в следующем виде:
При решении проблемы разрешимости силлогизмов решающую роль играет принцип аннигиляции. Заключение следует из данных посылок при условии ровно одной аннигиляции при сложении или вычитании векторов.
В заключение получаем положительный вектор как разность (1,1,0) — (0,1, —1)= = (1,0,1), а отрицательный вектор — как знак суммы отрицательных частей (0,1, —1) + (1, _1,0) = (1,0, —1). Заключение принимается, когда сумма отрицательных частей или хотя бы одна перекрестная разность дает ровно один нуль.
Другая разность (0,1,1) — (1, -1,0) = (-1,2,1) отвергается (ибо число 2 в заключение указывает на несовместность утверждения +1 и отрицания —1).
Приведем текст программы Aristotle.bas для решения силлогизмов:
PRINTSCREEN 8: COLOR 7, 1: DIM х(4, 2, 3) PRINT " ЕСТЬ х у z НЕТ х у z": PRINTFOR k = 1 ТО 2 FOR i = 1 ТО 2 PRINT SPC(6);FOR j = 1 TO 3 READ x(k, i, j)PRINT x(k, i, j);NEXT j NEXT i PRINT NEXT kPRINT "………………………."FOR j = 1 TO 3x(3, 2, j) = SGN(x(1, 2, j) + x(2, 2, j)) x(3, 1, j) = x(1, 1, j) — x(2, 2, j) x(4, 1, j) = x(2, 1, j) — x(l, 2, j)NEXT jPRINT SPC(6); x(3, 1, 1); x(3, 1, 2); x(3, 1, 3); PRINT SPC(6); x(3, 2, 1); x(3, 2, 2); x(3, 2, 3) PRINT SPC(6); x(4, 1, 1); x(4, 1, 2); х(4, 1, 3)DATA 1,1,0, 1, -1,0 DATA 0,1,1, 0,1, -1 ENDАвтором написана программа Carroll.bas, позволяющая получать также чертеж диаграммы Кэрролла.
На диаграмме верхняя и нижняя половины соответствуют +х и — х, левая и правая половины соответствуют +z и — z,внутренний квадрат и его внешность соответствуют +у и — у:
Всевозможные комбинации х, у и z приводят к различным тройкам (х, у, z).
Фактически, это — трехмерная диаграмма. Поэтому для сравнения слева приведено ее представление в виде куба.
Для освоения диаграмм Кэрролла была написана простая программа-тренажер С2, которая позволяет для трехбуквенной диаграммы Кэрролла (приведенной в заставке) освоить расположение ячеек, задаваемое трехмерными векторами (х, у,) В отличие от Аристотеля, у Кэрролла выводим силлогизм:
По 1-му правилу Кэрролла: из двух Химер с исключаемыми терминами различных знаков следует Химера, в которой оставляемые термины сохраняют свои знаки. За счет включения негативной силлогистики выводимы 624 модуса.
Рассмотрим еще один интересный пример из книги Л. Кэрролла. Если обозначить х = уроки, у = трудные, г = требующие особого внимания, то пример № 22 может быть записан в виде:
Некоторые уроки трудны = Некоторые х суть уТо, что трудно, требует особого внимания = Все у сутьНекоторые уроки требуют особого внимания» = Нек. х суть zЗаключение получаем как разность (1, 1, 0) — (0, 1, -1) = (1, 0, 1).
Приведем также решение многопосылочного силлогизма:
Ни одна утка (х) не танцует вальс (и)Ни один офицер (z) не откажется танцевать вальс (и)Все мои домашние птицы (у) — утки (х)Все мои домашние птицы (у) — не офицеры (-z)Предложенный алгоритм сводит выполнение умозаключений к действиям с компонентами логических векторов (записанных в троичной системе счисления). Многоаспектный метод является аналитическим методом, который применим для логических векторов любой размерности. Будет поучительно рассмотреть полисиллогизм из книги Кэрролла:
1. Ни один из встреченных в море, но оставшихся незамеченными предметов — не русалки.
2. Предметы, занесенные в вахтенный журнал, стоят того, чтобы их запомнить.
3. В моих путешествиях я не видел ничего такого, что стоило бы запомнить.
4. О встреченных в море и замеченных предметах делается запись в вахтенном журнале.
Запишем его через пятимерные векторы: (x1, х2, хз, х4, x5) = х, у, z, и, v).
Заключение: «Я никогда не видел ни одной русалки». С помощью диаграмм Кэрролла решение этого полисиллогизма получить нельзя, ибо увеличение размерности выше четырех делает геометрический метод непригодным. Традиционные способы решения применимы только к силлогизмам с тремя терминами. Они основаны на классификации модусов на 4 фигуры и требуют запоминания мнемонических латинских слов.
«Сперва хочу вам в долг вменить
На курсы логики ходить…
В мозгах, как на мануфактуре,
Есть ниточки и узелки.
Посылки не по той фигуре
Грозят запутать челноки».
Лучше затратить труд на освоение аналитического метода, чтобы потом легко получать решения любых силлогизмов. Поразительная эффективность диаграмм Кэрролла по сравнению с кругами Эйлера основывается на использовании помимо положительных и отрицательных ячеек еще пустых ячеек. Это — ситуация неопределенности, отсутствия информации, которая обозначается нулем и возникает при аннигиляции. Действительно, знать, что фишка находится в левой или в правой половине — это значит ничего не знать о ее местонахождении.
В качестве упражнения предлагается также силлогизм, который использовался американскими психологами в качестве теста:
«Ни один химик не является пчеловодом»«Некоторые пчеловоды — художники» -----------?При решении каждое суждение будем обозначать вектором. Например, если обозначить: х = химики, у = пчеловоды, z = художники, то положительный вектор +(0,1,1) будет обозначать частноутвердительное суждение «Некоторые пчеловоды — художники» = «ЕСТЬ xz», а отрицательный вектор — (1,1,0) — общеотрицательное суждение «Ни один химик не пчеловод» = «НЕТ ху».
Приведем также чертежи трехбуквенных диаграмм Кэрролла:
Из первой посылки, описываемой положительным вектором, вычитается вторая посылка, описываемая отрицательным вектором: (0,1,1) — (1,1,0) = (—1,0,1). Итак, получаем заключение: «Некоторые не-химики — художники».
В заключение отметим, что в современные американские тесты по проверке умственных способностей обязательно входят логические задачи. Интересно напомнить, что известный советский психолог А. Р. Лурия еще в 30-е годы во время экспедиций в Среднюю Азию. проводил тестирование неграмотных крестьян именно с помощью силлогизмов, а не арифметических задач.
ЧИТАТЕЛЬСКИЙ КЛУБ
Ведущий С. Н. Зигуненко
ПО СЛЕДАМ СЕНСАЦИИ
Последняя авария с «Марсом-8» — всего лишь очередное звено длинной цепи по большей части непонятных отказов космической техники, отправляемой для исследования Красной планеты. Полагаю, что существуют некие силы, которые не заинтересованы, чтобы земляне разгадали загадку «марсианского сфинкса», тамошних каналов и другие загадки данной планеты. Интересно, что вы скажете по этому поводу?
Абсолютно достоверной информации по поводу последней «марсианской» аварии мы, наверное, никогда не узнаем. За правдой надо нырять на дно морское, на 6-километровую глубину. А кому это нынче у нас по карману? Да и практической надобности нет — никто ведь не собирается заказывать сотрудникам РКК «Энергия», НПО им. С. А. Лавочкина точные копии ракеты-носителя и автоматической межпланетной станции, никто не намерен выбрасывать на ветер, а точнее, утопить в океане еще 300 млн долларов. Хотя, как и положено, председатель «аварийной» комиссии академик В. Ф. Уткин, выступая перед журналистами на пресс-конференции 18 декабря 1996 года, утверждал обратное. «Расследование продолжится до тех пор, — сказал академик, — пока не будет найден окончательный ответ». Однако уже тот факт, что решение комиссии должно было уйти в правительство сначала 5 декабря, потом 14 декабря и т. д., гово