Замечательная популярная книжка, цитата из которой помещена в эпиграф, начинается тем, что скромный служащий солидного городского банка мистер Томпкинс прочитал объяснение местного университета о лекции по теории относительности Эйнштейна. «Вот это стоящее дело! Мистеру Томпкинсу частенько приходилось слышать, что во всем мире едва ли дюжина людей по-настоящему понимают теорию Эйнштейна! А что, если он, мистер Томпкинс, станет тринадцатым? Ясное дело: он непременно отправится на лекцию. Это как раз то, что нужно!» Однако нам, чтобы попасть на эту лекцию, потребовалось свыше пятидесяти лет — ведь русское издание вышло в памятном 93-м году (а американское издание в 39-м). «Небольшая» перестановка цифр! В детстве я зачитывался чудным очерком «Занимательная прогулка в страну Эйнштейна» ленинградского математика О. А. Вольберга. Его герой мистер Барней падает замертво от пули бандита Клио, который только собирался в него выстрелить. С подробностями этой удивительной истории можно ознакомиться по довоенным изданиям «Занимательной механики» Я. И. Перельмана (в послевоенных изданиях его нет по неизвестным причинам).
Многие авторы пытались дать популярное изложение теории относительности, но мало кому удавалось совместить наглядность с адекватным математическим языком. В наиболее полной мере это удалось Клементу Дьюреллу в книге «Азбука теории относительности», в которой он предложил красивую модель релятивистского мира, основанную на аналогии его законов со свойствами отражения в Зазеркалье. Физик-теоретик Ф. Дайсон, учившийся у него еще в школьные годы, считает, что «это наиболее изящный из его трудов и, безусловно, лучшее популярное введение в теорию относительности.»
Релятивистские эффекты сокращения хорошо моделируются как оптические продольные сокращения, которые легко объяснимы с помощью формулы линзы. Если принять фокусное расстояние за единицу, то школьная формула линзы сводится просто к закону обратной пропорциональности: × = 1/Х, где × и X- расстояния от фокуса до объекта и до изображения. Искажения связаны с тем, что равномерным шагам к бесконечности будут соответствовать в изображении сокращающиеся шаги к Фокусу. Дьюрелл пишет, что шаги Алисы в Зазеркалье становятся все короче и короче, ибо она никогда не сможет продвинуться за точку F. Фокус является конечным образом бесконечности. Парадоксально, но факт!
В модели Дьюрелла можно пользоваться поворотом на действительный угол а. Действительно, если точка m (cos a. sin а), принадлежит окружности, то точка M(l/cos a, tga) — гиперболе. Итак, гиперболе V-изображения будет соответствовать окружность в Н-проекции.
Вычисления, основанные на использовании тригонометрических функций, позволили написать программу Durell. bas:
SCREEN 8 PI = 3.141593 COLOR 15, 1 M = 640: N = 200LINE (.047 × M, 75 × N) — (.67 × M, 75 × N) LINE (.414 × M, 10 × N) — (.42 × M, 0) PRINT SPC(25); «у»; SPC(15); «Y» PRINTFOR k = TO PI / 3 STEP PI / 6 FOR i = 0 TO PI / 6 STEP PI / 150 t = 1 / 2 — (k + i) x = (.234 +.19 × COS(t)) × M у = (.75 —.3 × SIN(t)) × N u = (234 +.19 / COS(t)) × M v = (.075 — /3 × TAN(t)) × N PSET (x, y)PSET (u, v)FOR w = 1 TO 1000 NEXT w NEXT iPRINT USING «it##.###»-,SPC(22); SIN(T); PRINT USING «###.###»; SPC(9); TAN(t); PRINTLINE (.047 × M, 75 × N) — (u, v)CIRCLE (x, y), 5 CIRCLE (u, v), 5NEXT kPRINTENDГиперболу можно рассматривать как изображение окружности в плоскости, где в качестве базиса берутся единичный вектор а, и мнимоединичный вектор b. «По существу, дело обстоит здесь совершенно так же, как и с картой земных полушарий, т. е. с изображением полусфер в виде плоских кругов. Это изображение неизбежно содержит искажения… Совершенно так же обстоит дело и в нашем случае, когда оригиналом является псевдоевклидова плоскость, а ее условным изображением — собственно евклидова плоскость чертежа», — пишет П. К. Рашевский в книге «Риманова геометрия и тензорный анализ».
В первой работе Эйнштейна (1905), в которой был сформулирован принцип относительности, еще не было языка неевклидовой геометрии. Это было сделано Минковским за несколько месяцев до смерти (наступившей в январе 1909 г.) в докладе, опубликованном посмертно. Его основной темой была геометрия, названная позже псевдоевклидовой геометрии, или геометрией Минковского, значение которой для теории относительности всегда подчеркивалось, Эйнштейном.
Формула линзы наглядно показывает относительность конечного и бесконечного. Романтики посвящали бесконечности и стихи. В начале романа «Отверженные» В. Гюго определил его как «драму, в которой главное действующее лицо бесконечность. Человек в ней — лицо второстепенное».
Повышенное внимание к «краевому мышлению» характерно не только для поэтов, но и для математиков. Математик Ж. Адамар в эссе «Исследование психологии процесса изображения в области математики», призывая «думать около», усматривает аналогии между краевым сознанием и расплывчатыми идеями, находящимися в «прихожей сознания» и время от времени выступающими на передний план, в поле ясного сознания. Вспомним историю отторжения векторного исчисления и неевклидовой геометрии. Очень показательно в этом отношении неприятие Вейерштрассом на его семинаре (в феврале 1870 г) системы неклассических геометрии Кэли-Клейна. «Я отнесся к этой отрицательной позиции с уважением и отложил в сторону уже созревшую идею. Я всегда робел перед критикой логиков, которая была далека от моих интересов. Только гораздо позже я понял, что суть дела заключается в различии наших подходов и что психология математического творчества таит в себе огромные проблемы. Очевидно, Вейерштрасс по натуре своей был склонен к тщательной, постепенной работе, шаг за шагом пролагающей путь к вершине; ему менее свойственно было издали распознавать не достигнутые еще высоты», — отмечал Ф. Клейн в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии».
Система неевклидовых геометрий была впервые построена Феликсом Клейном, который опирался на алгебраическую работу Артура Кэли «On quantics». На прямой возникают три различные метрики: эллиптическая, гиперболическая и параболическая. Аналогично можно ввести метрику углов (в пучке прямых): эллиптическую, гиперболическую и параболическую, комбинируя все возможные типы мероопределения расстояния и углов, получаем 3 x 3 = 9 геометрий на плоскости:
Геометрия Евклида, Галилея, Лобачевского и Минковского входят в систему Кэли-Клейна, что позволяет взглянуть на них с более общих позиций. Каждую геометрию можно охарактеризовать выражением для скалярного произведения векторов. В результате более чем столетней давности работ Кэли и Грассмана в геометрии открылся «королевский путь». Начиная с «Эрлангенской программы» Клейна, стало очевидным единство геометрии и алгебры. Действительно в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и преобразований в нем. Осознание того, что это установившийся процесс переосмысления, позволяет предположить, что «открытия, которые стоили стольких усилий…рискуют превратиться в дальнейшем в игрушки для школьников будущих поколений», — заключает Ж. Дьедонне, один из лидеров группы французских математиков, писавших под псевдонимом Н. Бурбаки.
Дьюрелл моделирует лоренцево сокращение как оптическое сокращение. Действительно каждого, кто смотрел в бинокль на электричку, поражало, что ее вагоны выглядят смешными обрубками (которые чем дальше — тем короче). Место кажущегося схода параллельных рельсов (на горизонте) является с данной точки зрения бесконечно удаленной точкой. Расстояния между шпалами тоже укорачиваются в перспективе, которая формируется хрусталиком глаза (подобно линзе фотокамеры).
Процесс построения перспективного изображения состоит в том, что между глазом зрителя и объектом проводится луч, проходящий через прозрачную картинную плоскость, на которую проектируются точки предметной плоскости. Линия горизонта на картине находится на уровне глаз наблюдателя, На горизонте сходятся параллельные линии. Но они пересекаются между собой лишь в бесконечности.
Это — удивительный факт и вместе с тем, первое, что узнает ученик художественной школы — это как изображать параллельные прямые!
Способ рисования изображен на известной гравюре Дюрера:
Точка пересечения с плоскостью рамки фиксировалась с помощью скрещения нитей, закреплявшихся на ней воском. Затем откидная дверка с бумагой закрывалась и на нее наносилась «пойманная» точка. Позже для этой же цели была придумана камера-обскура (camera obscura — лат. «темная комната»). Изображение создавалось в закрытом ящике на матовом стекле оптическим путем с помощью маленького отверстия (выполнявшего роль объектива). Первое описание этого устройства принадлежит Леонардо да Винчи, бывшему универсальным гением эпохи Возрождения, в которую теория перспективы и оптика не считались разными науками.