"Соседнее зеркало усеяли формулы и неевклидовы чертежи. Выкладки начинались с утверждения о нетождественности единиц и утверждением о эквивалентности единицы и бесконечности."
"Фаэтон, насупив брови, их просмотрел. Доказательства друг другу не противоречили, несмотря на бредовое предположение, и, если взять не равную себе бесконечность конечной, получалась математика привычная."
"По Гёделю пустое множество получается. Если перенумеровать строчки доказательства и сопоставить им значения твоих номерных строк, тогда первая же твоя лемма всё опровергает — получается множество с отрицательным числом элементов."
"Lines of mathematical symbols appeared on a nearby mirror, and images from non-Euclidean geometry. The mathematics started from the premise of the nonidentity of unity, and a unity-to-infinity equivalence."
"Phaethon frowned at them. The proofs had an internal self-consistency, granting the absurd premise, and normal mathematics was made a subset of this system by assuming a condition where infinity, by not equaling itself, was finite..."
"The whole thing forms a Goedelian null-set. If I numbered the lines of the proof and assign numbers from your number lines to them, by the lemma of your first proof, the proof itself disproves itself, and you get a set with fewer than no members."
Так лучше — правила Лопитала в голову не лезут, да и строчки возможных доказательств действительно, бывает, нумеруют — но так тоже из рук вон плохо.
Мы, для начала, толком и не сошлись во мнении, на чём математика стоит. Как тут ей опоры шатать, если опор нет? Философами от математики выдуманы, как минимум: логицизм, формализм, интуиционизм, натурализм, номинализм, структурализм — и все в различных личных изводах. Математики от математики об прочности оснований собственной науки особо не переживают, а в обычных учебниках дном служат "неопределяемые" понятия множества и функции, при этом ожидается, что студент не лишён логики, готов принимать, хоть и на время, любые аксиомы, не обращая внимания на смысл, и без мировоззренческих сомнений способен досчитать от нуля до бесконечности. А объясняют ученикам всё это образным размахиванием руками и просьбой что-либо "представить".
Условно говоря, обычные люди пользуются всем понемногу — и логикой бытовой, и формальной, и наработанной, и образами представленными и подсмотренными, и понятиями всеми понятными, но объяснениям не поддающимся — а идейные пытаются растянуть любимую ипостась вместо всего фундамента — с переменными, но невеликими успехами. Строго логический вывод равенства "1+1=2" и сопутствующих понятий занял толстенный талмуд. Передоказательство математики без использования непонятного закона исключённого третьего тоже ушло недалеко.
Что предлагает Молчаливый? "Картинки из неевклидовых геометрий" — которые, спору нет, красивые, но испытание ими царица наук уже век как пережила — и "эквивалентность единицы (или же целого) и бесконечности".
Нет в основаниях математики никакой "бесконечности". Да и "единиц" тоже толком нет. Даже сегодня основания начинаются глубже — от понятий, опять же, функции и множества. Бесконечность — не число. "Бесконечность" — свойство множества. Значит — множество можно взаимно однозначно сопоставить с собственным подмножеством. Бесконечность бесконечности рознь, как понятием мощности множества показал Кантор.
А что именно Вторая Ойкумена понимает под "бесконечностью" — Молчаливый объяснить нужным не счёл. Под видом предпосылки нам подсунули лозунг: "Всё суть одно". Знаете, если аксиомы лозунгами заменить, вывести можно что угодно.
Ладно бы только у Ничто были нелады с аксиомами — аксиомы, всё-таки, можно понять как способ закрепить некое математическое ощущение, как попытку проверить все математические ощущения на внутреннее постоянство, то есть на правильность — ибо в людской логике "нет" не превращается в "да" только по мере упрямства мозга, а с постоянством у мозга Ничто всё по задумке плохо — но на это говно и Фаэтон клюнул! Великий, мать его несуществующую, инженер! Похоже, без Софотековых нашёптываний о математике у Фаэтона Гелийвича Радамантова представление смутное.
(Как, впрочем, и у американских студентов инженерных специальностей. На третьем курсе они не понимают, как по индукции доказывать. Непрерывная функция по их мнению — дифференцируемая! [168] С математическим образованием в Америке пока беда. [169])
Будь я редактором (совести) Райта — заставил бы даже намёки на доказательства подчистую вытравить. Промолчишь — умным прослывёшь. Как подмыть здание математики — не знаю, но уж точно не так.
Теперь про ноуменальную математику. В послесловии про неё говорится:
"Нелинейные, но в то же время лишённые хаотичности модели" — "nonlinear yet nonchaotic models".
Лучше это читать так: "научившись измерять состояния достаточно точно", поскольку хаотичность — свойство явления [170], и достоверная модель должна его за явлением повторять.
Напоследок — про математику обычную, про которую четырьмя абзацами выше сказано:
"Увенчало прорывы той эры окончательное осознание корпуса математических наук как целого" — "The crowning achievement of this era was the final comprehension of all geometric and scientific theorems as a whole". (В подлиннике, как видите — геометрические теоремы, но, я думаю, математика во всей-всей геометрии отразится целиком.)
Мне кажется — тут тоже чушь. Во-первых — чем тогда Софотечество занято, если вся математика осознана? Во-вторых — весь корпус математических наук содержательно бесконечен, то есть бесконечно разнообразен, и в музей, и в память посему не влезет.
Как я принимаю нанесённые континуум-гипотезой и теоремой о полноте удары по мировоззрению? Так, что конечный непротиворечивый набор аксиом описывает что угодно не досконально. Всегда можно измыслить вопрос, не имеющий решения, вскрывающий какую-либо неясность прежних определений — и поэтому для безупречно строгого определения математического объекта конечного числа аксиом мало. А сейчас, если копнуть глубоко — загадка найдётся.
Читайте так: "Увенчало прорывы той эры окончательное осознание корпуса математических наук как целого — но не всех."
Всё, пожалуй.